Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/29

25

ELLIPSE ET ELLIPSOÏDE.

membre de l’équation (F) ; si de plus on veut pousser jusqu’à 100°, cette équation deviendra

$\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .1^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .2^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .3^{\circ }+\ldots +\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .100^{\circ }$

$=1001-99\operatorname {Log} .2,$

c’est-à-dire,

$\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .1^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .2^{\circ }+\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .3^{\circ }+\ldots +\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .100^{\circ }$

$=971,1983.$

Ainsi pour le rayon $1\,00000\,00000$ et la division centésimale, le produit des sinus naturels de tous les degrés du quart de cercle est un nombre qui a 972 chiffres à sa partie entière.

Si $\omega ,$ sous-multiple de $\varpi ,$ ne l’est pas de ${\tfrac {1}{2}}\varpi ,$ ce qui aura lieu seulement, comme nous l’avons déjà observé, lorsque $a$ sera égal à 40° ou à 8° ; alors le second membre de l’équation (E) aura un nombre pair de facteurs ; et sa première moitié, dont le dernier facteur sera $\operatorname {Sin} {\tfrac {1}{2}}(\varpi -\omega )),$ sera égale à la dernière, dont le premier facteur sera $\operatorname {Sin} {\tfrac {1}{2}}(\varpi +\omega )).$ Extrayant donc la racine quarrée des deux membres, il viendra

${\sqrt {\frac {\varpi }{2^{{\frac {\varpi }{\omega }}-1}.\omega }}}=\operatorname {Sin} .\omega \operatorname {Sin} .2\omega \operatorname {Sin} .3\omega \ldots \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\left(\varpi -\omega \right).$

En faisant successivement $\omega =40^{\circ }$ et $\omega =8^{\circ }$ on aura

$\operatorname {Sin} .40^{\circ }\operatorname {Sin} .80^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {5}}\,;$

$\operatorname {Sin} .8^{\circ }\operatorname {Sin} .16^{\circ }\operatorname {Sin} .24^{\circ }\operatorname {Sin} .32^{\circ }\ldots \operatorname {Sin} .96^{\circ }={\frac {5}{4096}}.$

GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.

Recherche de quelques propriétés de l’ellipse et de
l’ellipsoïde ;

Par M. Rochat, professeur de navigation à St-Brieux.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

§. I.

Soit.

$a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}=a^{2}b^{2}\qquad \mathrm {(A)}$

l’équation d’une ellipse, rapportée à son centre et à deux diamètres