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FRACTIONS

${\frac {6x^{2}-22x+18}{x^{3}-6x^{2}+11x-6}}={\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {2}{(x-2)}}+{\frac {3}{(x-3)}}.$

On voit par là que, dans le cas particulier où le numérateur de la fraction proposée se trouverait être la fonction prime de son dénominateur, les numérateurs des fractions partielles se trouveraient tous égaux à l’unité, comme il résulte d’ailleurs de la théorie des différentielles logarithmiques,

II. Soit encore ${\frac {\psi x}{\phi x}}$ une fraction rationnelle irréductible, dont le dénominateur soit d’un degré plus élevé que le rumérateur ; mais supposons que ce dénominateur soit le produit de $m$ facteurs égaux à $x-a$, en sorte qu’on ait $\phi x=(x-a)^{m}$ ; on pourra alors écrire l’équation identique

${\frac {\psi x}{\phi x}}={\frac {\psi \left\{a+(x-a)\right\}}{(x-a)^{m}}}.$

En développant le second membre de cette équation, par la série de Taylor, on obtiendra

${\frac {\psi x}{\phi x}}={\frac {\psi a}{(x-a)^{m}}}+{\frac {{\tfrac {1}{1}}\psi 'a}{(x-a)^{m-1}}}+{\frac {{\tfrac {1}{1.2}}\psi ''a}{(x-a)^{m-2}}}+\ldots +{\tfrac {{\frac {1}{1.2\ldots n}}\psi ^{(n)}a}{(x-a)^{m-n}}}+\ldots$

D’où l’on voit que le numérateur d’une fraction partielle quelconque s’obtiendra, en formant une dérivée du numérateur de la fraction proposée dont l’ordre soit la différence entre l’exposant du dénominateur de la même fraction proposée et l’exposant du dénominateur de la fraction partielle dont il s’agit, en divisant ensuite cette fonction dérivée par le produit d’autant des premiers nombres naturels qu’il y a d’unités dans le nombre qui indique son ordre de dérivation, et en y mettant enfui pour $x$ le second terme $a$ du binôme $x-a.$

Soit, par exemple, la fraction