Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/289

281

RATIONNELLES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

${\begin{aligned}&+(x-a)(x-b)\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$

laquelle, en y mettant successivement pour $x$ les seconds termes $a,b,c,\ldots$, donne

${\begin{aligned}\phi 'a&=(a-b)(a-c)\ldots \\\phi 'b&=(b-a)(b-c)\ldots \\\phi 'c&=(c-a)(c-b)\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$

divisant donc, par chacune de ces dernières, les équations correspondantes du précédent groupe, il viendra

${\frac {\psi a}{\phi 'a}}=A,\qquad {\frac {\psi b}{\phi 'b}}=B,\qquad {\frac {\psi c}{\phi 'c}}=C,\ldots$

Ainsi, si l’on forme une fraction dont le numérateur soit le même que celui de la fraction proposée, et dont le dénominateur soit la fonction prime de son dénominateur ; en substituant successivement pour $x,$ dans cette fraction, les seconds termes des dénominateurs des fractions partielles, pris avec des signes contraires, on obtiendra les numérateurs de ces mêmes fractions.

Soit, par exemple, la fraction

${\frac {6x^{2}-22x+18}{x^{3}-6x^{2}+11x-6}}={\frac {6x^{2}-22x+18}{(x-1)(x-2)(x-3)}}\,;$

le numérateur, divisé par la fonction prime du dénominateur, donnera

${\frac {6x^{2}-22x+18}{3x^{2}-12x+11}}\,;$

en y faisant successivement $x=1,2,3,$ on obtiendra ${\tfrac {2}{2}}=1,$ ${\tfrac {-2}{-1}}=2,$ ${\tfrac {6}{2}}=3\;;$ de sorte qu’on aura