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FACULTÉS

${\begin{aligned}A&=aa',\\B&=ab'+a'b+bb',\\C&=ac'+bb'+a'c+4bc'+4b'c+12cc',\\\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La suite nous fournira l’occasion de continuer ces valeurs à volonté.

23. Appliquons ces résultats généraux au cas des séries qui résultent du développement des deux expressions

${\frac {(h-y)^{y|1}}{h^{y|1}}},\qquad {\frac {(m-y)^{y|1}}{m^{y|1}}}.$

On a

${\frac {(h-y)^{y|1}}{h^{y|1}}}=1-{\frac {y^{2}}{h}}+{\frac {y^{2}\left(y^{2}-1\right)}{2h(h+1)}}-{\frac {y^{2}\left(y^{2}-1\right)\left(y^{2}-4\right)}{2.3h(h+1)(h+2)}}+\ldots \,;$

${\frac {(m-y)^{y|1}}{m^{y|1}}}=1-{\frac {y^{2}}{m}}+{\frac {y^{2}\left(y^{2}-1\right)}{2m(m+1)}}-{\frac {y^{2}\left(y^{2}-1\right)\left(y^{2}-4\right)}{2.3m(m+1)(m+2)}}+\ldots \,;$

Il sera possible de donner au produit de ces deux séries la forme

$1-Ay^{2}+By^{2}\left(y^{2}-1\right)-Cy^{2}\left(y^{2}-1\right)\left(y^{2}-4\right)+\ldots \,;$

et les coefficiens $A,B,C,\ldots$ auront la forme, très-remarquable que voici :

${\begin{aligned}A&={\frac {h+m-1}{hm}},\\B&={\frac {(h+m-1)(h+m)}{2h(h+1)m(m+1)}},\\C&={\frac {(h+m-1)(h+m)(h+m+1)}{2.3h(h+1)(h+2)m(m+1)(m+2)}},\\\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24. Le théorème que nous venons d’exposer est très-vrai, en général. Toutefois nous ne saurions dissimuler qu’en l’appliquant à certains cas particuliers, qui paraissent en faire une exception formelle, on s’exposerait à une suite de conclusions extrêmement paradoxales. Supposons d’abord $h+m=1\,;$ cette supposition rend nuls tous les coefficiens $A,B,C,\ldots ,$ et paraît conséquemment réduire à l’unité le produit

${\frac {(h-y)^{y|1}.(m-y)^{y|1}}{h^{y|1}m^{y|1}}},$