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FACULTÉS
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&=aa',\\B&=ab'+a'b+bb',\\C&=ac'+bb'+a'c+4bc'+4b'c+12cc',\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/013629ab957de80fc25aac80bfdb6034ba75b6e8)
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La suite nous fournira l’occasion de continuer ces valeurs à volonté.
23. Appliquons ces résultats généraux au cas des séries qui résultent
du développement des deux expressions
![{\displaystyle {\frac {(h-y)^{y|1}}{h^{y|1}}},\qquad {\frac {(m-y)^{y|1}}{m^{y|1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54c344c1fddbf7421337f2025c26541602e3c273)
On a
![{\displaystyle {\frac {(h-y)^{y|1}}{h^{y|1}}}=1-{\frac {y^{2}}{h}}+{\frac {y^{2}\left(y^{2}-1\right)}{2h(h+1)}}-{\frac {y^{2}\left(y^{2}-1\right)\left(y^{2}-4\right)}{2.3h(h+1)(h+2)}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b15e9778b057d56c933f81fea66222bbb57d8e8)
![{\displaystyle {\frac {(m-y)^{y|1}}{m^{y|1}}}=1-{\frac {y^{2}}{m}}+{\frac {y^{2}\left(y^{2}-1\right)}{2m(m+1)}}-{\frac {y^{2}\left(y^{2}-1\right)\left(y^{2}-4\right)}{2.3m(m+1)(m+2)}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca18b8ea9308296b9fbb744ef01265f10666a479)
Il sera possible de donner au produit de ces deux séries la forme
![{\displaystyle 1-Ay^{2}+By^{2}\left(y^{2}-1\right)-Cy^{2}\left(y^{2}-1\right)\left(y^{2}-4\right)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e175f8e8d02c8d2651e7ae9fcf4daa19840e196)
et les coefficiens
auront la forme, très-remarquable que voici :
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {h+m-1}{hm}},\\B&={\frac {(h+m-1)(h+m)}{2h(h+1)m(m+1)}},\\C&={\frac {(h+m-1)(h+m)(h+m+1)}{2.3h(h+1)(h+2)m(m+1)(m+2)}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa114de52910550ec6c4267cf9d417fc79aaf355)
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24. Le théorème que nous venons d’exposer est très-vrai, en
général. Toutefois nous ne saurions dissimuler qu’en l’appliquant à
certains cas particuliers, qui paraissent en faire une exception formelle, on s’exposerait à une suite de conclusions extrêmement paradoxales. Supposons d’abord
cette supposition rend nuls
tous les coefficiens
et paraît conséquemment réduire
à l’unité le produit
![{\displaystyle {\frac {(h-y)^{y|1}.(m-y)^{y|1}}{h^{y|1}m^{y|1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b58cd864ff5cabfd0a9e9a3f679d1192880839f)