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NUMÉRIQUES.
![{\displaystyle a+by^{2}+cy^{4}+dy^{6}+ey^{8}+fy^{10}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4df5cb88c533202a26e605c222530d69cbd572b)
décomposables en un produit infini, tel que
![{\displaystyle \left\{1-{\frac {y^{2}}{h^{2}}}\right\}\left\{1-{\frac {y^{2}}{(h+1)^{2}}}\right\}\left\{1-{\frac {y^{2}}{(h+2)^{2}}}\right\}\left\{1-{\frac {y^{2}}{(h+3)^{2}}}\right\}\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25d30053807121b1933a71fb402919b7a6b1e6f)
On voit en effet que les coefficiens
étant donnés, il faut d’abord calculer, par leur moyen, les coefficiens
de la série
![{\displaystyle a'+b'y^{2}+c'y^{2}\left(y^{2}-1\right)+d'y^{2}\left(y^{2}-1\right)y^{2}\left(y^{2}-4\right)\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00b8b97c59780f7d85757962c669e428e24f2e95)
et tant que, par une détermination convenable de
on pourra faire coïncider avec eux les coefficiens généraux
![{\displaystyle 1,\quad -{\frac {1}{h}},\quad +{\frac {1}{1.2h(h+1)}},\quad -{\frac {1}{1.2.3h(h+1)(h+2)}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f83f55160ef11c8ad14648181633c1ddc23a2a)
on sera certain que la décomposition est possible, et on connaîtra tout ce qui est nécessaire pour l’effectuer,
21. Mais il importe de remarquer qu’il y a une infinité de cas où la décomposition est très-possible, sans que sa possibilité se manifeste par les caractères que nous venons d’indiquer. Cela a lieu, lorsque la série proposée est le produit de deux ou d’un plus grand nombre de produits infinis de la forme
![{\displaystyle \left\{1-{\frac {1}{h}}\right\}\left\{1-{\frac {y^{2}}{(h+1)^{2}}}\right\}\left\{1-{\frac {y^{2}}{(h+2)^{2}}}\right\}\left\{1-{\frac {y^{2}}{(h+3)^{2}}}\right\}\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f160bf7c40bea88048991af98a74f3912ced13)
dans lesquels la valeur de
varie, d’un produit à l’autre. Pour frayer le chemin qui conduit à cette recherche, vraiment intéressante, proposons-nous le problème qui suit ;
22. Essayons de multiplier entre elles les deux séries
![{\displaystyle a+by^{2}+cy^{2}\left(y^{2}-1\right)+dy^{2}\left(y^{2}-1\right)\left(y^{2}-4\right)+ey^{2}\left(y^{2}-1\right)\left(y^{2}-4\right)\left(y^{2}-9\right)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66080f174df22d5ef1a14e5627cdfe6e407a527)
![{\displaystyle a'+b'y^{2}+c'y^{2}\left(y^{2}-1\right)+d'y^{2}\left(y^{2}-1\right)\left(y^{2}-4\right)+e'y^{2}\left(y^{2}-1\right)\left(y^{2}-4\right)\left(y^{2}-9\right)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0158a090b90721e4db30f75d43f1f8fb7f54cbc3)
il est toujours possible (8) de réduire leur produit à la forme de chacune d’elles ; en représentant donc ce produit par
![{\displaystyle A+By^{2}+Cy^{2}\left(y^{2}-1\right)+Dy^{2}\left(y^{2}-1\right)\left(y^{2}-4\right)+Ey^{2}\left(y^{2}-1\right)\left(y^{2}-4\right)\left(y^{2}-9\right)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3415109327a7caabe0cef01f00a9dd9faf4d17e6)
les suppositions particulières de
donneront