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SINUS ET COSINUS

seront l’objet du mémoire suivant, et que nous espérons d’en donner une solution satisfaisante et complète.

FONCTIONS CIRCULAIRES.

Développemens, en séries, des sinus et cosinus suivant
l’arc, et de l’arc suivant sa tangente ;

Par M. Gergonne.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

I. Le sinus d’un arc variant de signe avec cet arc, sans varier de grandeur absolue ; on est autorisé à supposer

$\operatorname {Sin} .x=Ax+Bx^{3}+Cx^{5}+Dx^{7}+\ldots \,;\qquad$(1)

et conséquemment

$\operatorname {Sin} .y=Ay+By^{3}+Cy^{5}+Dy^{7}+\ldots \,;\qquad$(2)

$\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(x-y)=A\left[{\tfrac {1}{2}}(x-y)\right]+\left[B{\tfrac {1}{2}}(x-y)^{3}\right]+\ldots \qquad$(3)

Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation

$\operatorname {Sin} .x-\operatorname {Sin} .y=2\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(x+y)\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(x-y),$

les deux membres de l’équation résultante seront divisibles par ${\tfrac {1}{2}}(x-y)$ et, en exécutant la division, il viendra

$\left\{A+B\left[{\tfrac {1}{2}}(x-y)\right]^{2}+C\left[{\tfrac {1}{2}}(x-y)\right]^{4}+\ldots \right\}\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(x+y)=$

$A+B\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)+C\left(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}\right)+\ldots$

Si, dans cette dernière équation, on fait $y=x,$ elle se réduira à

$A\operatorname {Cos} .x=A+3Bx^{2}+5Cx^{4}+7Dx^{6}+\ldots \,;\qquad$(4)

on aura donc aussi

$A\operatorname {Cos} .y=A+3By^{2}+5Cy^{4}+7Dy^{6}+\ldots \,;\qquad$(5)

substituant les valeurs de $\operatorname {Cos} .x$ et $\operatorname {Cos} .y,$ données par ces deux équations, ainsi que celle de $\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(x-y),$ donnée par l’équation (3), dans l’équation

$\operatorname {Cos} .y-\operatorname {Cos} .x=2\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(x+y)\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(x-y),$

les deux membres de l’équation résultante seront divisibles par ${\tfrac {1}{2}}(x-y),$ et, en exécutant la division, il viendra