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EN SÉRIES.

$A\left\{A+B\left[{\tfrac {1}{2}}(x-y)\right]^{2}+C\left[{\tfrac {1}{2}}(x-y)\right]^{4}+\ldots \right\}\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(x+y)=$

$-3B(x+y)-5C\left(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}\right)-\ldots$

Si, dans cette dernière équation, on fait $y=x,$ elle deviendra

$A^{2}\operatorname {Sin} .x=-2.3Bx-4.5Cx^{3}-6.7Dx^{5}-\ldots \,;$

mais l’équation (1) donne

$A^{2}\operatorname {Sin} .x=A^{3}x+A^{2}Bx^{3}+A^{2}Cx^{5}+\ldots \,;$

on aura donc

$-2.3B=A^{3},\qquad -4.5C=A^{2}B,\qquad -6.7D=A^{2}C,\ldots$

et par conséquent

$B=-{\frac {A^{3}}{1.2.3}},\quad C=+{\frac {A^{5}}{1.2.3.4.5}},\quad D=-{\frac {A^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}},\ldots \,;$

donc enfin (1 et 4)

$\operatorname {Sin} .x={\frac {Ax}{1}}-{\frac {A^{3}x^{3}}{1.2.3}}+{\frac {A^{5}x^{5}}{1.2.3.4.5}}-{\frac {A^{7}x^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}}+\ldots \,;$

$\operatorname {Cos} .x=1-{\frac {A^{2}x^{2}}{1.2}}+{\frac {A^{4}x^{4}}{1.2.3.4}}-{\frac {A^{6}x^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots .$

Il est d’ailleurs facile de prouver que la constante $A$ doit être égale à l’unité.^[1]

II. La tangente d’un arc variant aussi de signe avec cet arc, sans varier de grandeur absolue ; on est autorisé à supposer

$x=A\operatorname {Tang} .x+B\operatorname {Tang} .^{3}x+C\operatorname {Tang} .^{5}x+\ldots \,;\qquad$(6)

on aura donc aussi

$y=A\operatorname {Tang} .y+B\operatorname {Tang} .^{3}y+C\operatorname {Tang} .^{5}y+\ldots \,;\qquad$(7)

$x-y=A\operatorname {Tang} .(x-y)+B\operatorname {Tang} .^{3}(x-y)+\ldots \,;\qquad$(8)

Si l’on égale la valeur de $x-y$ donnée par les équations (6 et 7) à celle que donne l’équation (8), en mettant en évidence le facteur $\operatorname {Tang} .x-\operatorname {Tang} .y,$ qui affecte l’un des membres de l’équation résultante ; il viendra

$(\operatorname {Tang} .x-\operatorname {Tang} .y)\left\{A+B\left(\operatorname {Tang} ,^{2}x+\operatorname {Tang} .x\operatorname {Tang} .y+\operatorname {Tang} .^{2}y\right)+\ldots \right\}$

$=\operatorname {Tang} .(x-y)\left\{A+B\operatorname {Tang} ,^{2}(x-y)+C\operatorname {Tang} .^{4}(x-y)+\ldots \right\}\,;$

mais on a

1. Voyez la Théorie des fonctions analitiques.