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EN SÉRIES.
![{\displaystyle A\left\{A+B\left[{\tfrac {1}{2}}(x-y)\right]^{2}+C\left[{\tfrac {1}{2}}(x-y)\right]^{4}+\ldots \right\}\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(x+y)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2e60ae76df473fee723721d88238ada970ec8d)
![{\displaystyle -3B(x+y)-5C\left(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}\right)-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faec2be092ead25bd688a1226cb6385dc808769b)
Si, dans cette dernière équation, on fait
elle deviendra
![{\displaystyle A^{2}\operatorname {Sin} .x=-2.3Bx-4.5Cx^{3}-6.7Dx^{5}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a69a8758cf1f294c9faf25288816804f24ed05)
mais l’équation (1) donne
![{\displaystyle A^{2}\operatorname {Sin} .x=A^{3}x+A^{2}Bx^{3}+A^{2}Cx^{5}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/762d0eeb849be60eb7f182009cde0a92b9d3a7c2)
on aura donc
![{\displaystyle -2.3B=A^{3},\qquad -4.5C=A^{2}B,\qquad -6.7D=A^{2}C,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de29c711506c11127621e415df1c1dbc76505d0f)
et par conséquent
![{\displaystyle B=-{\frac {A^{3}}{1.2.3}},\quad C=+{\frac {A^{5}}{1.2.3.4.5}},\quad D=-{\frac {A^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}},\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c9039e75ce426ce451f288d25ddfc7058ae33c)
donc enfin (1 et 4)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .x={\frac {Ax}{1}}-{\frac {A^{3}x^{3}}{1.2.3}}+{\frac {A^{5}x^{5}}{1.2.3.4.5}}-{\frac {A^{7}x^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6597ec4b7040b42a9b865bfc6b60906c5c1c53bf)
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .x=1-{\frac {A^{2}x^{2}}{1.2}}+{\frac {A^{4}x^{4}}{1.2.3.4}}-{\frac {A^{6}x^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc340c7e319f3b700f66d52c6dc1cab16dc4b03)
Il est d’ailleurs facile de prouver que la constante
doit être égale à l’unité.[1]
II. La tangente d’un arc variant aussi de signe avec cet arc, sans varier de grandeur absolue ; on est autorisé à supposer
![{\displaystyle x=A\operatorname {Tang} .x+B\operatorname {Tang} .^{3}x+C\operatorname {Tang} .^{5}x+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3469809083575c3a196550fb67cac3458c6b7f8)
(6)
on aura donc aussi
![{\displaystyle y=A\operatorname {Tang} .y+B\operatorname {Tang} .^{3}y+C\operatorname {Tang} .^{5}y+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8307ffd5111f1a4cd2a57480306b5fdc910e5c)
(7)
![{\displaystyle x-y=A\operatorname {Tang} .(x-y)+B\operatorname {Tang} .^{3}(x-y)+\ldots \,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276649285ec3f0d216cc9c7eafc32857ea1f223a)
(8)
Si l’on égale la valeur de
donnée par les équations (6 et 7)
à celle que donne l’équation (8), en mettant en évidence le facteur
qui affecte l’un des membres de l’équation résultante ; il viendra
![{\displaystyle (\operatorname {Tang} .x-\operatorname {Tang} .y)\left\{A+B\left(\operatorname {Tang} ,^{2}x+\operatorname {Tang} .x\operatorname {Tang} .y+\operatorname {Tang} .^{2}y\right)+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c4d73b27d1392ae5ee051b8b8d67af74febe5b)
![{\displaystyle =\operatorname {Tang} .(x-y)\left\{A+B\operatorname {Tang} ,^{2}(x-y)+C\operatorname {Tang} .^{4}(x-y)+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac89a477714129e72f8f8553e9cd83e371fe6ca6)
mais on a
- ↑ Voyez la Théorie des fonctions analitiques.