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TRIGONOMÉTRIQUES.

$\operatorname {Sin} .c(\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .A)=(1-\operatorname {Cos} .c)(\operatorname {Cos} .b+\operatorname {Cos} .a),$

$\operatorname {Sin} .c(\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .B-\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .A)=(1+\operatorname {Cos} .c)(\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .a).$

Multipliant ces deux dernières équations, membre à membre, en observant que $(1-\operatorname {Cos} .c)(1+\operatorname {Cos} .c)=1-\operatorname {Cos} .^{2}c=\operatorname {Sin} .^{2}c,$ et divisant par $\operatorname {Sin} .^{2}c,$ on aura

$\operatorname {Sin} .^{2}a\operatorname {Cos} .^{2}B-\operatorname {Sin} .^{2}b\operatorname {Cos} .^{2}A=\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Cos} .^{2}a=\operatorname {Sin} .^{2}a-\operatorname {Sin} .^{2}b,$

ou, en transposant,

$\operatorname {Sin} .^{2}b\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}A\right)=\operatorname {Sin} .^{2}a\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}B\right),$

ou$\qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname {Sin} .^{2}b\operatorname {Sin} .^{2}A=\operatorname {Sin} .^{2}a\operatorname {Sin} .^{2}B,$

ou enfin$\qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .A=\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .B.$

Cette manière de déduire des équations fondamentales la proportionnalité des sinus des angles aux côtés opposés, dans le triangle rectiligne, et aux sinus de ces côtés, dans le triangle sphérique, rne paraît remarquable par sa simplicité et son uniformité.

§. II.

Conservons les mêmes notations que ci-dessus, et soit posé, en outre,

$a+b+c=2s.$

Dans le triangle rectiligne, on a, sans aucune ambiguïté de signes,

$\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}A={\sqrt {\frac {(s-b)(s-c)}{bc}}},\qquad \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}A={\sqrt {\frac {s(s-a)}{bc}}},$

$\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}B={\sqrt {\frac {(s-c)(s-a)}{ca}}},\qquad \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}B={\sqrt {\frac {s(s-b)}{ca}}},$

$\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}C={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)}{ab}}},\qquad \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}C={\sqrt {\frac {s(s-c)}{ab}}},$

On déduit de là

$\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(A\pm B)=\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}A\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}B\pm \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}A\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}B$

$={\frac {(s-b)\pm (s-a)}{c}}{\sqrt {\frac {s(s-c)}{ab}}},$

$\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(A\pm B)=\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}A\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}B\mp \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}A\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}B$

$={\frac {s\mp (s-c)}{c}}{\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)}{ab}}},$

c’est-à-dire,

$\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(A\pm B)={\tfrac {(s-b)\pm (s-a)}{c}}\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}C,\ \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(A\pm B)={\tfrac {s\mp (s-c)}{c}}\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}C\,;$