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ET SURFACES LIMITES.

point $\mathrm {T}$, la courbe $\mathrm {H'H'}$, exprimée par l’équation (III), tendra continuellement à devenir une courbe $\mathrm {HH}$ coupant $\mathrm {MM}$ ou $\mathrm {GG}$ en $\mathrm {T}$ ; on aura donc l’équation de $\mathrm {HH}$, en faisant $\alpha =0,$ dans l’équation (III), ce qui la réduit simplement à ${\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}=0.$ Ainsi le point $\mathrm {T}$ de $\mathrm {MM}$, qui répond à la valeur $A$ de la constante, sera donné par le système des deux équations

$V=0,\qquad {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} A}}=0\,;$

si donc on élimine $A$ entre elles, l’équation résultante, en $x$ et $y,$ devant être satisfaite par les coordonnées des points $\mathrm {T,T',T''} ,\ldots$ qui répondent aux diverses valeurs $A,A',A'',\ldots$ de la constante, sera l’équation de la courbe $\mathrm {MM}$ qui les contient tous, c’est-à-dire, de la courbe cherchée.

Si l’équation proposée était

$\phi (x,y,A_{1},A_{2},\ldots A_{n})=V=0\,;$

les constantes $A_{1},A_{2},\ldots A_{n}$ étant liées par les équations suivantes

${\begin{aligned}&\mathrm {f_{1}} (A_{1},A_{2},\ldots A_{n})=F_{1}=0,\\&\mathrm {f_{2}} (A_{1},A_{2},\ldots A_{n})=F_{2}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\mathrm {f_{n-1}} (A_{1},A_{2},\ldots A_{n})=F_{n-1}=0\,;\\\end{aligned}}$

on pourrait, à l’aide de ces équations, éliminer de $V$ toutes les constantes, excepté une seule, ce qui ramènerait la question au cas précédent.

On pourrait aussi considérer toutes les constantes comme des fonctions de l’une d’elles, $A_{1}$ par exemple ; alors en différentiant sous ce point de vue, et éliminant

$A_{1},A_{2},\ldots A_{n},\ {\frac {\mathrm {d} A_{2}}{\mathrm {d} A_{1}}},\ {\frac {\mathrm {d} A_{3}}{\mathrm {d} A_{1}}},\ldots {\frac {\mathrm {d} A_{4}}{\mathrm {d} A_{1}}},$

entre les équations