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QUESTIONS

On a, d’après cela,

$\operatorname {Cos} .{\frac {2ay}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\,;$

et si, pour savoir en quels points la courbe rencontre l’axe des $y,$ on fait $x=0,$ il viendra

$\operatorname {Cos} .{\frac {2a}{y}}=-1,\qquad {\text{d’où}}\qquad {\frac {2a}{y}}=(2n+1)\varpi \,;$

et par conséquent

$y={\frac {2a}{(2n+1)\varpi }},$

$n$ étant un nombre entier, positif ou négatif, quelconque. Ainsi, la courbe coupe l’axe des $y$ en une infinité de points.

Pour rendre raison de cette circonstance, M. Tedenat remarque que, lorsque l’arc $2a$ est parvenu à former une circonférence, son mouvement n’est pas borné là ; que ses extrémités peuvent ensuite se croiser l’une sur l’autre, et se croiser de plus en plus, jusqu’à ce que l’arc soit entièrement doublé, et forme une double circonférence d’un rayon moitié moindre que celui de la première, auquel cas les deux extrémités de cet arc se confondront avec l’origine. L’arc $2a$ continuant à se ployer encore, formera ensuite une triple circonférence dont le rayon sera le tiers de celui de la première, et ainsi de suite ; de manière que la courbe dont il s’agit formera, tant au-dessous qu’au-dessus de la tangente commune, une infinité de circonvolutions, passant toutes par l’origine, comme le représente la figure 9.

Nous terminerons par observer que le problème qui nous occupe a été traité par M. Bossut, dans le second volume de son Calcul intégral, page 77 ; mais les formules auxquelles l’auteur parvient,