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RÉSOLUES.

La question proposée peut encore être consîdérée comme un cas très-particulier du problème des Trajectoires aux fonctions égales ; et c’est sous ce point de vue qu’elle a été envisagée par M. Tédenat,

L’équation du problème est alors

$\int \operatorname {d} x{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}=a.\qquad$(4)

Et, pour en déduire l’équation différentielle de la courbe cherchée, il faudrait dîfférentier, en ayant égard à la variabilité du rayon $r,$ suivant le procédé de Leibnitz.

Mais l’équation du cercle $x^{2}=2ry-y^{2}$ donne

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {x}{r-y}},$

d’où

${\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}={\sqrt {\frac {r^{2}-2ry+x^{2}+y^{2}}{(r-y)^{2}}}}={\frac {r}{r-y}}={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\,;$

au moyen de quoi l’équation (4) devient

$\int {\frac {r\operatorname {d} x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}=a,\quad {\text{ou}}\quad \int {\frac {\operatorname {d} \left({\frac {x}{r}}\right)}{\sqrt {1-\left({\frac {x}{e}}\right)^{2}}}}={\frac {a}{r}}\,;$

ce qui donne, en remarquant que $x$ et $a$ doivent s’évanouir en même temps,

$\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {x}{r}}\right)={\frac {a}{r}},\quad {\text{ou}}\quad \operatorname {Sin} .{\frac {a}{r}}={\frac {x}{r}}\,;$

équation qui, étant la même que l’équation (1), conduira aux mêmes conséquences.