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RÉSOLUES.
Or, à
doit répondre
; donc
![{\displaystyle \alpha =a{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}+C\,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c6c916165a4c1cbe989cf783b0b6de2dd1a8936)
d’où
![{\displaystyle \quad C={\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c3ebfdc2a3cbcd65772c9f5e8464ad977bc9b8)
et par conséquent
![{\displaystyle X_{z}=a{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}+{\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{z}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30f353cc7a409ec75eca34b0b793ef45670edbde)
D’après cela, si l’on dénote simplement par
les quantités
d’eau, et par
les quantités de vin contenues respectivement
dans les deux vases
et
après la
opération ; et si en outre
et
sont les quantités de vin que renfermaient ces deux vases,
avant la première opération ; en observant que
![{\displaystyle {\begin{aligned}X+X'=\alpha +\alpha '=a&,\qquad X+Y=\alpha +\beta ,\\Y+Y'=\beta +\beta '=b&,\qquad X'+Y'=\alpha '+\beta ',\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ecde90a264a9b088756e348c35d55348a1b8dd)
on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}X&=a{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}+{\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n},\\X'&=a{\frac {\alpha '+\beta '}{a+b}}+{\frac {\alpha 'b-\beta 'a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n},\\Y&=b{\frac {\alpha +\beta }{a+b}}-{\frac {\alpha b-\beta a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n},\\Y'&=b{\frac {\alpha '+\beta '}{a+b}}-{\frac {\alpha 'b-\beta 'a}{a+b}}\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{n}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76144855f79a3ead277d92cedbb4434d7ffb5a73)
Parmi une multitude de remarques auxquelles ces formules peuvent donner lieu, nous nous arrêterons aux suivantes.
et
étant, dans les cas, deux fractions positives, il en résulte que
est toujours compris entre 0 et 2, et que conséquemment
est toujours fractionnaire et compris entre
et
![{\displaystyle X_{z}=M+N\left(1-{\frac {c}{a}}-{\frac {c}{b}}\right)^{z}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87328ca9bc12bff6539591f85accda68210ff370)
Les constantes
et
se détermineront tant par l’équation du premier ordre que par l’état initial du mélange.
J. D. G.