en défaut, lorsque deux ou un plus grand nombre de racines de l’équation en sont égales entre elles ; et que d’Alembert publia en 1748, une méthode très-ingénieuse pour écarter cette difficulté. Cependant, quel que soit le mérite de cette méthode, adoptée par Euler, dans son calcul intégral, et depuis par les auteurs de tous les traités sur cette matière, il m’a semblé qu’elle laissait à désirer un procédé plus rigoureux.
Je n’ignore pas qu’au fond le moyen employé par d’Alembert, et par les autres géomètres après lui, peut être entièrement justifié, soit par des considérations tirées de la théorie des limites, soit en faisant adroitement disparaître dans les termes à conserver (par un calcul un peu long quand il y a plus de deux racines égales) la quantité infiniment petite dont on a supposé que les racines venaient à différer. Mais cette petite différence que, dans tous les traités que je connais, l’on annulle, sans que les quantités deviennent nulles en même temps, occasione toujours de l’embarras aux commençans, qui ne peuvent pas encore saisir le véritable esprit de la démonstration.
Je pense donc que la méthode suivante, qui n’est point sujette aux mêmes difficultés, et qui a l’avantage de donner immédiatement l’expression générale de l’intégrale, quels que soient l’ordre de l’équation et le nombre des racines égales, pourrait être introduite, avec avantage, dans les élémens ; et c’est pour lui donner la publicité nécessaire que je me suis déterminé, Monsieur, à vous l’adresser.
Soit l’équation
on sait que son intégrale complette est
étant les racines de l’équation
