Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/52

48

ÉQUATIONS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

qui provient de la substitution de $e^{mx},$ au lieu de $y,$ dans l’équation (P).

Quand toutes les racines de l’équation (Q) sont égales entre elles et à $m,$ l’intégrale assignée se réduit à

$y=\left(a'+a''+a'''+\ldots +a^{(n)}\right)e^{mx}=\alpha .e^{mx}\,;$

mais cette valeur de $y$ n’est plus qu’une intégrale particulière, puisqu’elle ne renferme qu’une seule constante arbitraire $\alpha .$

La simple substitution de $e^{mx},$ au lieu de $y,$ parait donc être ici en défaut, et ne pouvoir faire connaître la véritable intégrale de la proposée (P).

Cependant, puisque cette substitution satisfait toujours à l’équation différentielle, et puisque le défaut apparent de la méthode dépend d’une certaine relation existante entre les coefficiens constans $A,B,\ldots N\,;$ supposons

$y=u.e^{mx}\,;$

$u$ étant une fonction de $x$ qu’on peut espérer de déterminer en telle sorte que l’intégrale renferme le nombre de constantes arbitraires nécessaire à la question.

Remarquons auparavant que, dans le cas où l’équation (Q) a toutes ses racines égales, comme elle est équivalente à $(m-m)^{n}=0,$ on a

${\begin{aligned}A&=-{\frac {n}{1}}.m,\\B&=+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.m^{2},\\C&=-{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}.m^{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\N&=\pm m^{n}\,;\\\end{aligned}}$

le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris, dans la valeur de $N$, suivant que $n$ est pair ou impair.