Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1812-1813, Tome 3.djvu/53

49

LINÉAIRES.

En conséquence, la proposée devient

$\mathrm {d^{n}} y-{\frac {n}{1}}\mathrm {d^{n-1}} y.m\mathrm {d} x+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\mathrm {d^{n-2}} y.m^{2}\mathrm {d} x^{2}-\ldots \pm m^{n}\mathrm {d} x^{n}=0\,;\qquad$

or, on sait que, lorsqu’une fonction $y$ est de la forme $u.t,$ $u$ et $t$ étant des fonctions de $x$, on a

$\mathrm {d^{n}} y=\mathrm {d^{n}} (u.t)=(\mathrm {d} u+\mathrm {d} t)^{n},$

pourvu qu’on écrive le développement avec les précautions convenables ; c’est-à-dire, qu’on a

$\mathrm {d^{n}} y=t\mathrm {d^{n}} u+{\frac {n}{1}}\mathrm {d^{n-1}} u\mathrm {d} t+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\mathrm {d^{n-2}} u.\mathrm {d^{2}} t+\ldots +u.\mathrm {d^{n}} t\,;\qquad$

mais, quand $t=e^{mx}$, on a, par la nature de la fonction $e^{mx}$,

$\mathrm {d^{n}} t=t.(m\mathrm {d} x)^{n}\,;$

donc,

$\mathrm {d^{n}} y=t\left(\mathrm {d^{n}} u+{\frac {n}{1}}\mathrm {d^{n-1}} u.m\mathrm {d} x+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\mathrm {d^{n-2}} u.m^{2}\mathrm {d} x^{2}+\ldots +u.m^{n}\mathrm {d} x^{n}\right)\,;\ \mathrm {(R)}$

mais la forme de la proposée, dans le cas actuel, est

$\mathrm {d^{n}} y={\frac {n}{1}}\mathrm {d^{n-1}} y.m\mathrm {d} x-{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\mathrm {d^{n-2}} y.m^{2}\mathrm {d} x^{2}+\ldots \mp m^{n}\mathrm {d} x^{n}\,;\qquad$

en mettant donc, dans le second membre de cette dernière équation, au lieu de $\mathrm {d^{n-1}} y,\mathrm {d^{n-2}} y,.\ldots ,$ leurs valeurs en $t,u,x,$ tirées de la forme générale (R), égalant ensuite entre elles les deux valeurs de $\mathrm {d^{n}} y$, et divisant de part et d’autre par $t,$ on aura l’équation identique

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {d^{n}} u+{\frac {n}{1}}\mathrm {d^{n-1}} u.m\mathrm {d} x+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\mathrm {d^{n-2}} u.m^{2}\mathrm {d} x^{2}+&\ldots \\-{\frac {n}{1}}\mathrm {d^{n-1}} u.m\mathrm {d} x-2{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\mathrm {d^{n-2}} u.m^{2}\mathrm {d} x^{2}-&\ldots \\+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\mathrm {d^{n-2}} u.m^{2}\mathrm {d} x^{2}+&\ldots \\-&\ldots \\\end{aligned}}\right|=0.$