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DES ÉQUATIONS.

Quelque simple que soit cette méthode, comparée a celle de M. Wronski, elle est susceptible encore de quelques perfectionnemens qu’il convient de ne pas négliger. En premier lieu, en affectant les seconds membres des équations (A) du dénominateur commun $m,$ ce qui est permis, tant que les élémens $\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\ldots \xi _{m-1},$ ne sont pas encore déterminés, on parvient évidemment à délivrer les valeurs de ces élémens du coefficient ${\frac {1}{m^{m}}}$ qui les affectent toutes.

En second lieu, soit désignée simplement par $\rho$ une racine $m^{me}$ de l’unité qui ne soit pas, en même temps, racine de l’unité, d’un degré inférieur à $m,$ ainsi qu’il pourrait arriver si, $\rho$ étant pris au hasard, $m$ n’était pas un nombre premier. On pourra remplacer $\rho _{1},\rho _{2},\rho _{3},\ldots \rho _{m},$ par $\rho ,\rho ^{2},\rho ^{3},\ldots \rho ^{m},$ ou 1. Il n’entrera donc, dans les calculs, qu’une seule racine de l’unité ; et l’on n’aura besoin, pour opérer les réductions, que d’avoir égard aux seules équations

$\rho ^{m}=1\quad$et$\quad 1+\rho +\rho ^{1}+\rho ^{2}+\rho ^{3}+\ldots \rho ^{m-1}=0.$

Ainsi, en posant, pour les valeurs hypothétiques des racines,

$\left.{\begin{aligned}x_{1}&={\frac {1}{m}}\left\{\rho {\sqrt[{m}]{\xi _{1}}}+\rho ^{2}{\sqrt[{m}]{\xi _{2}}}+\rho ^{3}{\sqrt[{m}]{\xi _{3}}}+\ldots \rho ^{m-1}{\sqrt[{m}]{\xi _{m-1}}}\right\},\\x_{2}&={\frac {1}{m}}\left\{\rho ^{2}{\sqrt[{m}]{\xi _{1}}}+\rho ^{4}{\sqrt[{m}]{\xi _{2}}}+\rho ^{6}{\sqrt[{m}]{\xi _{3}}}+\ldots \rho ^{2(m-1)}{\sqrt[{m}]{\xi _{m-1}}}\right\},\\x_{3}&={\frac {1}{m}}\left\{\rho ^{3}{\sqrt[{m}]{\xi _{1}}}+\rho ^{6}{\sqrt[{m}]{\xi _{2}}}+\rho ^{9}{\sqrt[{m}]{\xi _{3}}}+\ldots \rho ^{3(m-1)}{\sqrt[{m}]{\xi _{m-1}}}\right\},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\x_{m}&={\frac {1}{m}}\left\{{\sqrt[{m}]{\xi _{1}}}+{\sqrt[{m}]{\xi _{2}}}+{\sqrt[{m}]{\xi _{3}}}+\ldots {\sqrt[{m}]{\xi _{m-1}}}\right\},\\\end{aligned}}\right\}$ (A’)

on aura

${\begin{aligned}\xi _{1}&=\left\{\rho ^{m-1}.x_{1}+\rho ^{2(m-1)}.x_{2}+\rho ^{3(m-1)}.x_{3}+\ldots +x_{m}\right\}^{m},\\\xi _{2}&=\left\{\rho ^{m-2}.x_{1}+\rho ^{2(m-2)}.x_{2}+\rho ^{3(m-2)}.x_{3}+\ldots +x_{m}\right\}^{m},\\\xi _{3}&=\left\{\rho ^{m-3}.x_{1}+\rho ^{2(m-3)}.x_{2}+\rho ^{3(m-3)}.x_{3}+\ldots +x_{m}\right\}^{m},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\xi _{m-1}&=\left\{\rho .x_{1}+\rho ^{2}.x_{2}+\rho ^{3}.x_{3}+\ldots +x_{m}\right\}^{m}\,;\\\end{aligned}}$