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SURFACES
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}&\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)x'^{2}&+2(a'a''+b'b''+c'c'')y'z'\\&\left(a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}\right)y'^{2}&+2(a''a+b''b+c''c)z'x'\\&\left(a''^{2}+b''^{2}+c''^{2}\right)z'^{2}&+2(aa'+bb'+cc')x'y'\\\end{array}}\right\}=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a2d88876af161b6a7e0e1b45d364376d301118a)
si, dans cette dernière équation, on fait successivement les trois hypothèses
on obtiendra pour les équations des traces de la sphère sur les trois plans coordonnés
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}\left(a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}\right)y'^{2}&+\left(a''^{2}+b''^{2}+c''^{2}\right)z'^{2}&+2(a'a''+b'b''+c'c'')y'z'&=r^{2},\\\left(a''^{2}+b''^{2}+c''^{2}\right)z'^{2}&+\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)x'^{2}&+2(a''a+b''b+c''c)z'x'&=r^{2},\\\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)x'^{2}&+\left(a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}\right)y'^{2}&+2(aa'+bb'+cc')x'y'&=r^{2}\,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f4a1493b6caf4866ed0cdb636420a7240fd7fc4)
mais on sait d’ailleurs que,
désignant les angles des coordonnées
les équations de ces traces doivent être
![{\displaystyle y'^{2}+z'^{2}+2y'z'\operatorname {Cos} .\alpha =r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f383f0a8850fbf81d7acdecfe6a802a8086eba44)
![{\displaystyle z'^{2}+x'^{2}+2z'x'\operatorname {Cos} .\beta =r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaad1329a5d55ad38a8c774aa99d58937e222be1)
![{\displaystyle x'^{2}+y'^{2}+2x'y'\operatorname {Cos} .\gamma =r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e49c12c3cd647d4ac627322fa80f1f996ac1fdc)
comparant donc respectivement ces équations aux précédentes, il viendra
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}&a^{2}+b^{2}+c^{2}&=1,&\qquad a'a''+b'b''+c'c''&=\operatorname {Cos} .\alpha ,\\&a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}&=1,&\qquad a''a+b''b+c''c&=\operatorname {Cos} .\beta ,\\&a''^{2}+b''^{2}+c''^{2}&=1,&\qquad aa'+bb'+cc'&=\operatorname {Cos} .\gamma \,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f38de065b6ccfdc8bce795fb8aaa3d2cb33061)
et conséquemment l’équation de la sphère rapportée à des coordonnées obliques sera
(L)
![{\displaystyle \qquad x^{2}+y^{2}+z^{2}+2yz\operatorname {Cos} .\alpha +2zx\operatorname {Cos} .\beta +2xy\operatorname {Cos} .\gamma =r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/491d348ac87d0eda0a535503623579aaa9b1fa30)
Cette équation donne aussi la distance
de l’origine à un point dont les coordonnées sont
.
Si le centre, au lieu d’être situé à l’origine, se trouvait en un point ayant pour ses coordonnées
l’équation de la sphère deviendrait