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SURFACES

${\begin{aligned}A(c+a\operatorname {Cos} .\beta +b\operatorname {Cos} .\alpha )&=C(a+b\operatorname {Cos} .\gamma +c\operatorname {Cos} .\beta ),\\B(c+a\operatorname {Cos} .\beta +b\operatorname {Cos} .\alpha )&=C(b+c\operatorname {Cos} .\alpha +a\operatorname {Cos} .\gamma ),\\\end{aligned}}$

$Aa'+Bb'+Cc'=0.$

Si l’on élimine $a$ et $b$ entre elles, $c$ disparaîtra de lui-même, et l’on obtiendra, pour condition de perpendiculaire des deux plans

(T), (T’), l’équation suivante :

(U)$\qquad \left.{\begin{aligned}&AA'\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -(BC'+CB')(\operatorname {Cos} .\alpha -\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma )\\+&BB'\operatorname {Sin} .^{2}\beta -(CA'+AC')(\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha )\\+&CC'\operatorname {Sin} .^{2}\gamma -(AB'+BA')(\operatorname {Cos} .\gamma -\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta )\\\end{aligned}}\right\}=0.$

§. VII. De la perpendicularité de deux droites, et de l’angle qu’elles
forment entre elles.

Soient deux droites passant par l’origine et ayant respectivement pour équations

(V)$\qquad x=ar,\qquad y=br,\qquad z=cr,$

(V’)$\qquad x=a'r,\qquad y=b'r,\qquad z=c'r.$

On exprimera qu’elles sont perpendiculaires l’une à l’autre, si l’on exprime qu’un plan

$Ax+By+Cz=0.$

perpendiculaire à la première, contient la seconde ; ainsi, par le §. V, on aura les équations

${\begin{aligned}A(c+a\operatorname {Cos} .\beta +b\operatorname {Cos} .\alpha )&=C(a+b\operatorname {Cos} .\gamma +c\operatorname {Cos} .\beta ),\\B(c+a\operatorname {Cos} .\beta +b\operatorname {Cos} .\alpha )&=C(b+c\operatorname {Cos} .\alpha +a\operatorname {Cos} .\gamma ),\\\end{aligned}}$

$Aa'+Bb'+Cc'=0.$

Si l’on élimine $A$ et $B$ entre elles, $C$ disparaîtra de lui-même ; et l’on obtiendra, pour condition de perpendicularité des deux droites (V), (V’) ; l’équation suivante

(X)$\qquad \left.{\begin{aligned}&aa'+(bc'+cb')\operatorname {Cos} .\alpha \\+&bb'+(ca'+ac')\operatorname {Cos} .\beta \\+&cc'+(ab'+ba')\operatorname {Cos} .\gamma \\\end{aligned}}\right\}=0.$