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DU SECOND ORDRE.
coefficiens
de l’équation (10). À cet effet, écrivons les résultats des substitutions des valeurs (2) dans l’équation (1), en ayant égard aux équations (6), (7), (8) ; nous trouverons
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&(Aa^{2}+Bb^{2}+Cc^{2}+2A'bc+2B'ca+2C'ab)x'^{2}\\+&(Aa'^{2}+Bb'^{2}+Cc'^{2}+2A'b'c'+2B'c'a'+2C'a'b')y'^{2}\\+&(Aa''^{2}+Bb''^{2}+Cc''^{2}+2A'b''c''+2B'c''a''+2C'a''b'')z'^{2}\\+&(2Qx'+2Q'y'+2Q''z'+D)\\\end{aligned}}\right\}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25462b6580b7c142067f72330f4cd3484f48bbcc)
et partant
(13)
![{\displaystyle \qquad P''=Aa''^{2}+Bb''^{2}+Cc''^{2}+2A'b''c''+2B'c''a''+2C'a''b''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4030ec5b86bed87fe650bc5c2ff4b5850f0899a6)
si donc on élimine
des équations (11), (13) et de l’équation de relation formée d’après l’équation (S) du §. V, on trouvera l’équation qui doit déterminer
; mais, comme ces équations, ont lieu, de la même manière, en changeant
en
ou en
il s’ensuit que
sont donnés par une même équation du troisième degré.
Il s’agit donc actuellement d’effectuer le calcul qui vient d’être indiqué ; mais auparavant débarrassons
des accens qui les affectent dans les équations (11) et (13), et joignons-y l’équation
(S), ce qui donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{(14)}}&\ (Aa+B'c+C'b)(c+a\operatorname {Cos} .\beta +b\operatorname {Cos} .\alpha )=(Cc+A'b+B'a)(a+b\operatorname {Cos} .\gamma +c\operatorname {Cos} .\beta ),\\{\text{(15)}}&\ (Bb+C'a+A'c)(c+a\operatorname {Cos} .\beta +b\operatorname {Cos} .\alpha )=(Cc+A'b+B'a)(b+c\operatorname {Cos} .\alpha +a\operatorname {Cos} .\gamma ),\\{\text{(16)}}&\ Aa^{2}+Bb^{2}+Cc^{2}+2A'bc+2B'ca+2C'ab=P,\\{\text{(17)}}&\ a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc\operatorname {Cos} .\alpha +2ca\operatorname {Cos} .\beta +2ab\operatorname {Cos} .\gamma =1.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3b6eb454e87b12857c8283bf9649bc415edcd3)
Posons ensuite
(18)
![{\displaystyle \qquad {\begin{aligned}Aa+B'c+C'b&=L,\\Bb+C'a+A'c&=L',\\Cc+A'b+B'a&=L''\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ca1df747c3d976deb88f8a83b9a038d55d859e)
les trois premières deviendront alors