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SURFACES

$P=A-{\frac {B'C'}{A'}}=B-{\frac {C'A'}{B'}}=C-{\frac {A'B'}{C'}}\,;$

$B'C'x+C'A'y+A'B'z=0,$

égalant les valeurs de $P,$ deux à deux, on obtiendra les équations

(26)$\qquad {\begin{aligned}A'B'(A-B)+C'(A'^{2}-B'^{2})&=0,\\B'C'(B-C)+A'(B'^{2}-C'^{2})&=0,\\C'A'(C-A)+B'(C'^{2}-A'^{2})&=0,\\\end{aligned}}$

dont deux comportent la troisième. Elles expriment que l’équation (1) appartient à une surface de révolution. L’équation (22) devient, en vertu des équations (26)

$\left\{P-A-{\frac {B'C'}{A'}}\right\}^{2}\left\{P-A-{\frac {C'A'}{B'}}-{\frac {A'B'}{C'}}\right\}=0.$

Il nous resterait à examiner ce qui arrive dans ces résultats, lorsque un, deux ou trois rectangles des coordonnées manquent dans l’équation (1) ; mais nous renvoyons, pour cet objet, à notre mémoire qui traite de ces mêmes équations (page 144 ; du 2.^e volume des Annales de Mathématiques.)

On peut déduire des théories précédentes d’autres conséquences très-importantes ; ainsi, par exemple, on démontre très-facilement, au moyen de l’équation (22), trois théorèmes principaux sur les surfaces du second ordre (voyez, pour cet objet, un mémoire de M. Bérard, page 105 du 3.^e volume des Annales de Mathématiques). Nous discuterons seulement le cas particulier où les surfaces du second ordre dégénèrent en deux plans parallèles, et également distans de l’origine des coordonnées. L’équation

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2A'yz+2B'zx+2C'xy=H,$

prend alors la forme

$(mx+ny+pz)^{2}-1=0$

et l’équation en $T^{2}$ devient