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NOMBRES
![{\displaystyle {\frac {1}{(m,n-1)}}={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {m!}{(m+n-2)!}}-{\frac {(m+1)!}{(m+n-1)!}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37fe369b151bf209644b86fbf809cb668fb1a973)
d’où, en ajoutant et réduisant,
![{\displaystyle {\frac {1}{(0,n-1)}}+{\frac {1}{(1,n-1)}}+{\frac {1}{(2,n-1)}}+\ldots +{\frac {1}{(m,n-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e911f263160bc01035202e0d7bd721223f2ca1c1)
![{\displaystyle ={\frac {(n-1)!}{n-2}}\left\{{\frac {1}{(n-2)!}}-{\frac {(m+1)!}{(m+n-1)!}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383f185d0e4a8a22838d711e17e5a8460ab51c6d)
ou encore
![{\displaystyle {\frac {1}{(0,n-1)}}+{\frac {1}{(1,n-1)}}+{\frac {1}{(2,n-1)}}+\ldots +{\frac {1}{(m,n-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e911f263160bc01035202e0d7bd721223f2ca1c1)
![{\displaystyle ={\frac {(n-1)}{n-2}}\left\{1-{\frac {1}{(m+1,n-2)}}\right\}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e89f04629778687f184bc25d9ae98b45b703d8)
(11)
Si, dans cette dernière formule, ou suppose
elle deviendra
simplement,
![{\displaystyle {\frac {1}{(0,n-1)}}+{\frac {1}{(1,n-1)}}+{\tfrac {1}{(2,n-1)}}+{\tfrac {1}{(3,n-1)}}+\ldots ={\frac {(n-1)}{n-2}}\,;\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caa55058e362bc52ff436a2d30667424e4364bb1)
(12)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle 1+{\tfrac {1}{n}}+{\tfrac {1}{n}}.{\tfrac {2}{n+1}}+{\tfrac {1}{n}}.{\tfrac {2}{n+1}}.{\tfrac {3}{n+2}}+{\tfrac {1}{n}}.{\tfrac {2}{n+1}}.{\tfrac {3}{n+2}}.{\tfrac {4}{n+3}}+\ldots ={\frac {(n-1)}{n-2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463c887acf0a3530dcab948a70ce9c8c31968034)
§. III.
Démonstration du principe qui sert de fondement à la méthode donnée par M. Budan, pour la résolution des équations numériques.
Soient
les termes de la première ligne horizontale d’une table à double entrée,
dont la loi soit telle qu’un terme quelconque de cette table soit égal
à celui qui le précède immédiatement à gauche, augmenté de celui
qui est immédiatement au-dessus de lui. En désignant par
ce
terme quelconque, on aura
![{\displaystyle P_{k,n}=P_{k,n-1}+P_{k-1,n}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a25005a31fdcdaad1af772b4c6fac54e726a492)
(13)
Pour connaître ce terme
, il est clair qu’il sera nécessaire et
suffisant de connaître les termes de la première ligne horizontale,
jusqu’au terme
inclusivement ; d’où on peut conclure que si