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QUESTIONS

$P^{4}+(2b-d)P^{3}+\left(2b^{2}-2bd-3a^{2}-2ac+c^{2}\right)P^{2}$

$+\left(2b^{3}-b^{2}d-4ac-4a^{2}b+2a^{2}d+2acd\right)P+\left(b^{4}-4ab^{2}c+4a^{2}bd+a^{2}d^{2}\right)=0.$

Telle est l’équation qu’il faudra résoudre pour avoir la valeur de $P$ ; on aura ensuite

$Q=d-P,\qquad M=a,\qquad N={\frac {bc-aQ}{P+b}},$

et enfin

$A={\tfrac {1}{2}}\left\{{\sqrt {P+2M}}+{\sqrt {P-2M}}\right\},\quad B={\tfrac {1}{2}}\left\{{\sqrt {Q+2N}}-{\sqrt {Q-2N}}\right\},$

$C={\tfrac {1}{2}}\left\{{\sqrt {Q+2N}}+{\sqrt {Q-2N}}\right\},\quad D={\tfrac {1}{2}}\left\{{\sqrt {P+2M}}-{\sqrt {P-2M}}\right\}.$

Application. Si le produit donné est

$12x^{6}+56x^{5}+33x^{4}+122x^{3}+33x^{2}+56x+12,$

on aura $a=12,b=56,c=33,d=122$ ; en conséquence, l’équation en $P$ sera

$P^{4}-10P^{3}-7527P^{2}-2050P+10945600=0.$

Cette équation a deux racines réelles positives, dont l’une entière qui est $40$ et l’autre incommensurable, comprise entre 84 et 85 ; les deux autres racines sont imaginaires. En ne conservant que la seule racine $P=40,$ nous aurons

$\mathrm {Q} =82,\qquad M=12,\qquad N=9,$

$A=6,\qquad B=1,\qquad C=9,\qquad D=2,$

le produit décomposé sera donc

$\left(6x^{3}+x^{2}+9x+2\right)\left(2x^{3}+9x^{2}+x+6\right).$

On voit aisément ce qu’il y aurait à faire pour des produits de degrés plus élevés.

Tout nombre pouvant être considéré comme un polynôme ordonné par rapport aux puissances de la base du système de numération, le problème d’arithmétique qui a été proposé ne diffère uniquement de celui qui vient de nous occuper qu’en ce que, dans les multiplications numériques, les dixaines de chaque ordre vont