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CONSTRUCTION GÉOMETRIQUE.

et d’addition données plus haut ; les applications iront de suite, et il ne restera plus à examiner que la question de didactique « si l’emploi de cette notation peut être avantageux, s’il peut ouvrir des chemins plus courts et plus faciles, pour démontrer certaines vérités ? » c’est ce que le fait seul peut décider.

11. Nous ne croyons pas devoir omettre quelques aperçus sur une extension dont nos principes paraissent susceptibles. Soient, comme plus haut (fig.10), ${\overline {\mathrm {KA} }}=+1,\ {\overline {\mathrm {KC} }}=-1,\ {\overline {\mathrm {KB} }}=+{\sqrt {-1}},$ ${\overline {\mathrm {KD} }}=-{\sqrt {-1}}\,;$ tout autre rayon ${\overline {\mathrm {KN} }},$ mené dans le plan de ceux-là, sera de la forme $p+q{\sqrt {-1}}\,;$ et réciproquement, toute expression de cette forme sera celle d’une ligne dirigée dans ce plan. Tirons maintenant, du centre $\mathrm {K} ,$ une perpendiculaire $\mathrm {KP=KA}$ à ce plan. Que sera la ligne dirigée ${\overline {\mathrm {KP} }},$ relativement aux précédentes ? Leur est-elle tout à fait hétérogène, ou bien peut-on la rapporter analitiquement à l’unité primitive ${\overline {\mathrm {KA} }},$ et assigner son expression algébrique, comme celle de ${\overline {\mathrm {KB} }},{\overline {\mathrm {KC} }},\ldots$ ?

Si nous nous laissons guider par l’analogie, voici ce qu’elle nous suggère sur ces questions.

En prenant pour unité des angles la circonférence entière, il suit des principes ci-dessus qu’un rayon en direction, faisant un angle $\alpha$ avec ${\overline {\mathrm {KA} }}$ peut être exprimé par $1^{\alpha }.$ Mais, d’après la nature des exposans, cette expression a des valeurs multiples, lorsque $\alpha$ est fractionnaire, ce qui peut amener quelques difficultés. On évitera cet inconvénient, en employant la notation de M. Français (mémoire cité), et en écrivant $1_{\alpha }\,;$ on aura ainsi ${\overline {\mathrm {KA} }}=1_{0},{\overline {\mathrm {KB} }}=1_{\frac {1}{4}},$ ${\overline {\mathrm {KC} }}=1_{\tfrac {1}{2}},{\overline {\mathrm {KD} }}=1_{\tfrac {3}{4}}.$

Nous avons pris, de part et d’autre du point $\mathrm {A} ,$ sur la circonférence $\mathrm {ABCD} ,$ deux directions opposées, affectées l’une aux angles positifs, l’autre aux angles négatifs ; or, si nous appliquons aux angles les mêmes considérations qu’aux lignes, nous serons conduits à prendre les angles imaginaires dans une direction perpendiculaire à celle qui appartient aux angles réels.