polynôme auront le signe ou le signe suivant que le nombre des inversions qu’ils présenteront sera pair ou impair.
Il est d’abord aisé de voir que les deux résultats que nous venons de former satisfont à cette loi. Supposons donc qu’elle se soutienne encore pour l’avant-dernier polynôme, de manière que chacun de ses termes porte déjà le signe qui convient au nombre de ses inversions. L’introduction de la dernière lettre à la droite de l’un de ces termes ne changera rien à cet état de choses puisqu’elle n’en changera ni le signe ni le nombre des inversions. À mesure que cette lettre avancera ensuite vers la droite, l’espèce du nombre des inversions se trouvera alternativement (7) changée et rétablie ; mais le signe se trouvant aussi, par hypothèse, alternativement changé et rétabli, la loi dont il est question continuera à subsister, si, comme nous le supposons, elle a lieu dans l’avant-dernier polynôme ; puis donc qu’elle subsiste dans les deux premiers, il s’ensuit qu’elle est générale.
11. Concevons actuellement que, dans chacun des termes du polynôme on affecte chaque lettre d’un indice égal au rang de cette lettre, en cette manière
on formera ainsi un nouveau polynôme qui n’aura plus de termes semblables. Je vais prouver que si, dans ce polynôme on change une lettre quelconque en une autre, en laissant d’ailleurs celle-ci où elle se trouve déjà, et sans toucher aux indices, tout le polynôme s’anéantira.
Supposons, en effet, que l’on change en sans toucher à
