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D’ASTRONOMIE.

$\operatorname {d} \phi ={\frac {2\varpi (1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}}{p\operatorname {Cos} .^{3}\lambda }}\operatorname {d} t-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{\operatorname {Cos} .\lambda }}\operatorname {d} \lambda \,;$

d’où il résulte

${\begin{aligned}\left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}}\right)&={\frac {2\varpi }{p}}.{\frac {(1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}}{\operatorname {Cos} .^{3}\lambda }},\\\left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \lambda }}\right)&=-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{\operatorname {Cos} .\lambda }}.\\\end{aligned}}$

5. Considérant ici le temps $t$ et l’anomalie vraie $\phi$ comme les seules variables, on aura l’équation très-connue

$\operatorname {d} t={\frac {p\operatorname {Cos} .^{3}\lambda \operatorname {d} \phi }{2\varpi (1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}}},$

d’où l’on pourrait tirer, sur-le-champ, l’anomalie vraie $\phi ,$ moyennant une série ordonnée d’après les sinus des angles multiples de l’anomalie moyenne. Mais, si l’on regarde $\lambda$ comme la seule variable, et le temps $t$ comme exempt de différenciation, on aura d’abord

${\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}}=-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{\operatorname {Cos} .\lambda }},$

pour le premier de nos rapports différentiels partiels. Faisons ici $\lambda =0,$ on aura $\phi =A,$ et ${\frac {\operatorname {d} \phi }{\mathrm {dt} }}=-2\operatorname {Sin} .A.$ Il en résulte $B=-2\operatorname {Sin} .A$ ; et tel est le coefficient du second terme de la série.

6. Pour faciliter les différentiations ultérieures, et les développemens qui, dès le troisième terme deviennent assez compliqués, faisons $\operatorname {Sin} .\lambda =x$ et $\operatorname {Cos} .\phi =y$ ; ce qui donne

${\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \lambda }}=-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .\lambda }}(2-xy),\quad {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} \lambda }}=\operatorname {Cos} .\lambda ,\quad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} \lambda }}={\frac {\operatorname {Sin} .^{2}\phi }{\operatorname {Cos} .\lambda }}(2-xy).$

Remarquons, de plus, que le rapport différentiel ${\frac {\operatorname {d} ^{n}\phi }{\operatorname {d} \lambda ^{n}}}$ est constamment de la forme ${\frac {z\operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .^{n}\lambda }},$ la lettre $z$ désignant une fonction entièrement algébrique, ordonnée selon les puissances ascendantes de $x$ et de $y.$ Si l’on désigne par $P\operatorname {d} x+Q\operatorname {d} y$ la différentielle de celle fonction $z,$ on aura, après les réductions