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D’ASTRONOMIE.

et dès lors on pourra se servir de la formule générale. Pour trouver ${\frac {\operatorname {d} ^{3}y}{\operatorname {d} \lambda }},$ on aura

${\begin{aligned}n=2\ ;\ z&=2-2xy-2y^{2}+xy^{3},\\P&=-2y+y^{3},\\Q&=-2x-4y+3xy^{2},\\\end{aligned}}$

d’où on conclura

${\frac {\operatorname {d} ^{3}r}{\operatorname {d} \lambda ^{3}}}={\frac {1}{\operatorname {Cos} .\lambda }}.\left\{{\begin{aligned}&-4x-10y+4x^{2}y+14xy^{2}\\&+9y^{3}-6x^{2}y^{3}-10xy^{4}+3x^{2}y^{5}\\\end{aligned}}\right\}.$

Par un semblable procédé, on fera ensuite $n=3,$

${\begin{aligned}z&=-4x-10y+4x^{2}y+14xy^{2}+9y^{3}--x^{2}y^{3}-10xy^{4}+3x^{2}y^{5},\\P&=-4+8xy+14y^{2}-12xy^{3}-10y^{4}+6xy^{5},\\Q&=-10+4x^{2}+28xy+27y^{2}-18x^{2}y^{2}-40xy^{3}+15x^{2}y^{4}\,;\\\end{aligned}}$

d’où on conclura

${\frac {\operatorname {d} ^{4}r}{\operatorname {d} \lambda ^{4}}}={\frac {1}{\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }}\left\{{\begin{aligned}&-24+8x^{2}+64xy+88y^{2}-8x^{3}y\\&-72x^{2}y^{2}-176xy^{3}-64y^{4}+28x^{3}y^{3}+134x^{2}y^{4}\\&+113xy^{5}-36x^{3}y^{5}-70x^{2}y^{6}+15x^{3}y^{7}\\\end{aligned}}\right\}\,;$

et ainsi du reste.

14. Ainsi donc, pour trouver les coefficiens de la série $r=1+B\lambda +C\lambda ^{2}+D\lambda ^{3}+\ldots$, il faudra voir ce que deviendront ces rapports différentiels ${\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} \lambda }},{\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} \lambda ^{2}}},{\frac {\operatorname {d} ^{3}r}{\operatorname {d} \lambda ^{3}}},\ldots$ dans le cas de $\lambda =0,$ qui donne $x=0,\phi =A={\frac {2\varpi t}{p}}$, et $y=\operatorname {Cos} .A\,;$ et l’on aura

${\begin{aligned}B&=+\operatorname {Cos} .A,\\2C&=+2-2\operatorname {Cos} .^{2}A,\\6D&=-10\operatorname {Cos} .A+9\operatorname {Cos} .^{3}A,\\24E&=-24+88\operatorname {Cos} .^{2}A-64\operatorname {Cos} .^{4}A,\\120F&=+416\operatorname {Cos} .A-1040\operatorname {Cos} .^{3}A+625\operatorname {Cos} .^{5}A\,;\\\end{aligned}}$

et ainsi des autres.