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PROBLÈMES

On aura de plus, pour les deux rayons vecteurs $\mathrm {FP}$ et $\mathrm {FQ}$ ou $r$ et $s$

$r={\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }},\qquad s={\frac {b\operatorname {Cos} .^{2}\mu }{1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi }}.$

On aura enfin les équations, déjà employées dans le premier problème, par lesquelles on passe de l’anomalie vraie à l’anomalie moyenne, et réciproquement : savoir,

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .\phi '={\frac {\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }},&\qquad \operatorname {Sin} .\psi '={\frac {\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi }{1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi }},\\\operatorname {Cos} .\phi '={\frac {\operatorname {Cos} .\phi -\operatorname {Sin} .\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }},&\qquad \operatorname {Cos} .\psi '={\frac {\operatorname {Cos} .\phi -\operatorname {Sin} .\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi }},\\{\frac {2\varpi t}{p}}=\phi '+\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi '\,;&\qquad {\frac {2\varpi t}{q}}=\psi '+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\psi .\\\end{aligned}}$

20. Comme on demande pour $\nu \!\nu$ une série double, ordonnée selon les puissances ascendantes des deux excentricités, telle que

${\begin{aligned}\nu \!\nu =A+B\lambda +C\lambda ^{2}+D\lambda ^{3}&+\ldots \\+B'\mu +C'\lambda \mu +D'\lambda ^{2}\mu &+\ldots \\+C''\mu ^{2}+D''\lambda \mu ^{2}&+\ldots \\+D'''\mu ^{3}&+\ldots \\&+\ldots \\\end{aligned}}$

on voit que son premier terme $A$ sera ce que devient l’angle $\nu \!\nu$ dans le cas de $\lambda =0,\ \mu =0$ ; ce qui donne $r=a,\ s=b,\ \phi ={\frac {2\varpi t}{p}},\ \psi ={\frac {2\varpi t}{q}}$ ; d’où il résulte

$\operatorname {Tang} .A={\frac {a\operatorname {Sin} .(\alpha -{\frac {2\varpi t}{p}})-b\operatorname {Sin} .(\beta -{\frac {2\varpi t}{q}})}{a\operatorname {Cos} .(\alpha -{\frac {2\varpi t}{p}})-b\operatorname {Cos} .(\beta -{\frac {2\varpi t}{q}})}}.$

21. Les deux coefficiens qui suivent, $B$ et $B'$, seront ce que deviennent les deux rapports différentiels ${\frac {\operatorname {d} \nu \!\nu }{\operatorname {d} \lambda }},\ {\frac {\operatorname {d} \nu \!\nu }{\operatorname {d} \mu }}$, dans la même supposition de $\lambda =0,\mu =0$ ; et l’on voit que la différentiation doit