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D’ASTRONOMIE

par les tables que par l’observation, on veut repasser à la longitude héliocentrique. La difficulté sera levée, par la résolution du problème que voici.

27. Connaissant, outre les longitudes des deux aphélies, aussi bien que les grands axes et les excentricités des deux orbites, la longitude géocentrique d’une planète, pour un instant donné, trouver sa longitude héliocentrique ?

Désignons par

$B$ l’angle $\mathrm {EFB} ,$ longitude de l’aphélie de la planète ;

$b$ le côté $\mathrm {BF} ,$ demi-grand axe,

$\nu \!\nu$ l’angle $\mathrm {EHQ,}$ longitude géocentrique de la planète,

${\mathcal {f}}$ le rayon vecteur $\mathrm {FP} ,$

$\eta$ l’angle $\mathrm {EFP,}$ longitude héliocentrique de la terre,

$\theta$ l’angle $\mathrm {EFQ} ,$ longitude héliocentrique de la planète ;

donc, $\operatorname {Ang} .FPH=\nu \!\nu -\eta ,$

$\operatorname {Ang} .PQF=\nu \!\nu -\theta .$

L’angle $\mathrm {BFQ} ,$ anomalie vraie de la planète, sera $B-\theta$ ; et l’angle $\theta$ formera ainsi l’inconnue du problème.

Le triangle $\mathrm {FPQ}$ donnera $\mathrm {FP:FQ} =\operatorname {Sin} .(\nu \!\nu -\theta ):\operatorname {Sin} .(\nu \!\nu -\eta )$ ; donc

$\mathrm {FQ} ={\frac {\operatorname {Sin} .(\nu \!\nu -\eta )}{\operatorname {Sin} .(\nu \!\nu -\theta )}}{\mathcal {f}}.$

Mais, parce que $\mathrm {FQ}$ est un rayon vecteur de l’ellipse ; on a aussi

$\mathrm {FQ} ={\frac {b\operatorname {Cos} .^{2}\mu }{1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .(B-\theta )}}\,;$

donc, si l’on pose, pour abréger,

${\frac {b\operatorname {Cos} .^{2}\mu }{{\mathcal {f}}\operatorname {Sin} .(\nu \!\nu -\eta )}}=n,$

on aura l’équation

$1=n\operatorname {Sin} .(\nu \!\nu -\theta )+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .(B-\theta ).$

Pour la résoudre, il suffira de faire

$\operatorname {Tang} .\mathrm {K} ={\tfrac {n\operatorname {Cos} .\nu \!\nu -\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .B}{n\operatorname {Sin} .\nu \!\nu +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .B}},\ \mathrm {R} ^{2}=n^{2}+2n\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .(\nu \!\nu -B)+\operatorname {Sin} .^{2}\mu \,;$