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QUESTIONS

$\operatorname {Cos} .\mathrm {SMN} ={\frac {t^{2}+u^{2}-pt-qu}{\mathrm {SM\times MN} }},$

$\operatorname {Cos} .\mathrm {LMN} ={\frac {t^{2}+u^{2}-tx-uy-pt-qu+px+qy}{\mathrm {LM\times MN} }}.$

Il faudra aussi se procurer les expressions des sinus des deux premiers $\mathrm {SML}$ et $\mathrm {SMN}$ de ces angles. On aura, après les réductions nécessaires,

$\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {SML} ={\frac {h^{2}.\mathrm {\overline {LM}} ^{2}+(ty-ux)^{2}}{\mathrm {\overline {SM}} ^{2}\times \mathrm {\overline {LM}} ^{2}}},$

$\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {SMN} ={\frac {h^{2}.\mathrm {\overline {MN}} ^{2}+(qt-pu)^{2}}{\mathrm {\overline {SM}} ^{2}\times \mathrm {\overline {MN}} ^{2}}}.$

Le produit $\mathrm {SM\times LM} .\operatorname {Sin} .\mathrm {SML}$ exprime le double de la surface du triangle $\mathrm {LSM}$ ; d’où il suit que cette surface aura pour expression

${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {h^{2}.\mathrm {\overline {LM}} ^{2}+(ty-ux)^{2}}}.$

5. Le cosinus de l’angle plan $\mathrm {LSMN} ,$ qui exprime l’inclinaison mutuelle des deux faces triangulaires $\mathrm {LSM}$ et $\mathrm {MSN} ,$ ayant pour son sommet linéaire l’arête pyramidal $\mathrm {SM} ,$ est exprimé comme il suit :

$\operatorname {Cos} .\mathrm {LSMN} ={\frac {\operatorname {Cos} .\mathrm {LMN} -\operatorname {Cos} .\mathrm {LMS} \operatorname {Cos} .\mathrm {NMS} }{\operatorname {Sin} .\mathrm {LMS} .\operatorname {Sin} .\mathrm {NMS} }}.$

Après les substitutions, et les réductions, en assez grand nombre ; qui se présentent, cette expression devient