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RÉSOLUES.

$\operatorname {Cos} .\mathrm {LSMN} ={\tfrac {h^{2}\left(t^{2}+u^{2}-tx-uy-pt-qu+px+qy\right)-(ty-ux)(qt-pu)}{\sqrt {\left\{h^{2}.\mathrm {\overline {LM}} ^{2}+(ty-ux)^{2}\right\}\left\{h^{2}.\mathrm {\overline {MN}} ^{2}+(qt-pu)^{2}\right\}}}}$

On trouve ensuite, pour le sinus du même angle,

$\operatorname {Sin} .\mathrm {LSMN} ={\tfrac {h.\mathrm {SM} (pu-qt+ty-ux-py+qx)}{\sqrt {\left\{h^{2}.\mathrm {\overline {LM}} ^{2}+(ty-ux)^{2}\right\}\left\{h^{2}.\mathrm {\overline {MN}} ^{2}+(qt-pu)^{2}\right\}}}}$

d’où il résulte enfin

$\operatorname {Tang} .\mathrm {LSMN} ={\tfrac {h.\mathrm {SM} (pu-qt+ty-ux-py+qx)}{h^{2}\left(t^{2}+u^{2}-tx-uy-pt-qu+px+qy\right)-(ty-ux)(qt-pu)}}\,;$

et telle est la tangente de l’angle plan, compris entre les deux faces triangulaires contiguës $\mathrm {LSM,NSM.}$

6. Pour passer du polygone rectiligne au cas d’une courbe continue, prenons sur son périmètre les trois points $\mathrm {L,M,N,}$ à des distances infiniment petites l’une de l’autre ; et, en continuant de désigner par les lettres $t,u,$ les deux coordonnées $\mathrm {AP,PM,}$ du point intermédiaire $\mathrm {M} ,$ nous aurons $t+\operatorname {d} t,u+\operatorname {d} u,$ respectivement pour les coordonnées $\mathrm {AQ,QN,}$ du point suivant $\mathrm {N}$ ; tandis que $t-\operatorname {d} t+\operatorname {d} ^{2}t-\operatorname {d} ^{3}t+\ldots ,u-\operatorname {d} u+\operatorname {d} ^{2}u$$-\operatorname {d} ^{3}u+\ldots$ seront, respectivement, les expressions complètes des coordonnées $\mathrm {AO,OL,}$ du point précédent $\mathrm {L} .$ Comme, dans le problème que nous nous proposons, il suffira de nous arrêter aux secondes différentielles, nous aurons

$\mathrm {AO} =x=t-\operatorname {d} t+\operatorname {d} ^{2}t,\qquad \mathrm {AP} =t,\qquad \mathrm {AQ} =p=t+\operatorname {d} t,$

$\mathrm {OL} =y=u-\operatorname {d} u+\operatorname {d} ^{2}u,\qquad \mathrm {PM} =u,\qquad \mathrm {QN} =q=u+\operatorname {d} u.$

En faisant ces substitutions, dans l’expression ci-dessus, nous aurons