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DES ÉQUATIONS

$(x-a)(x-b)(x-c)\ldots (x-r)=(x-\alpha )\left(x^{m-1}+A'x^{m-2}+B'x^{m-3}+\ldots +T'\right).$

Or, $x-a$ est un diviseur exact du premier membre de cette équation ; il doit donc être aussi un diviseur exact du second membre ; et, ne divisant pas le facteur $x-\alpha ,$ il divise nécessairement l’autre facteur $\mathrm {x} ^{m-1}+A'x^{m-2}+B'x^{m-3}+\ldots +T'.$

Soit exécutée cette division ; il en résultera

$(x-b)(x-c)(x-d)\ldots (x-r)=(x-\alpha )\left(x^{m-2}+A''x^{m-3}+B''x^{m-4}+\ldots +T''\right).$

Le même raisonnement fera trouver ensuite

$(x-c)(x-d)(x-e)\ldots (x-r)=(x-\alpha )\left(x^{m-3}+A'''x^{m-4}+B'''x^{m-5}+\ldots +T'''\right)\,;$

et, en poursuivant toujours ainsi, on arrivera enfin à la conclusion $x-r=x-\alpha$ ; ce qui est contre l’hypothèse ; cette hypothèse ne peut donc subsister ; et il n’existe conséquemment d’autres diviseurs simples de $x^{m}+Ax^{m-1}+Bx^{m-2}+\ldots +T$ que les $m$ diviseurs simples $x-a,x-b,x-c,\ldots x-r.$

II. Il est aisé de voir que ce raisonnement est inutile ou faux.

Il est inutile, si les facteurs $x-a,x-b,x-c,\ldots x-r$ sont considérés comme ils doivent l’être, c’est-à-dire, comme des facteurs premiers.

Il est faux, s’ils ne sont pas considérés comme tels ; car s’ils ne sont pas premiers, on n’est pas en droit de conclure, de ce que $x-a$ divise le produit $(x-\alpha )\left(x^{m-1}+A'x^{m-2}+B'x^{m-3}+\ldots +T'\right),$ et ne divise pas l’un de ces deux facteurs, savoir $x-\alpha ,$ qu’il divise nécessairement l’autre facteur. Le nombre 10, par exemple, qui ne divise ni $5$ ni $8,$ divise pourtant le produit $40$ de ces deux nombres. Pareillement la formule $x^{2}-a^{2},$ qui ne divise aucun des trinômes $x^{2}-2ax+a^{2}$ et $x^{2}+2ax+a^{2}$ divise pourtant leur produit $x^{4}-2a^{2}x^{2}+a^{4}.$^[1]

1. Le Corollaire du n.^o 14 peut être établi directement, d’une manière très-simple, indépendamment du Lemme du n.^o 13.