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DES ÉQUATIONS
![{\displaystyle (x-a)(x-b)(x-c)\ldots (x-r)=(x-\alpha )\left(x^{m-1}+A'x^{m-2}+B'x^{m-3}+\ldots +T'\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a3825020697791f9924939d8a5b5ca5cceb852d)
Or,
est un diviseur exact du premier membre de cette équation ; il doit donc être aussi un diviseur exact du second membre ; et, ne divisant pas le facteur
il divise nécessairement l’autre facteur
Soit exécutée cette division ; il en résultera
![{\displaystyle (x-b)(x-c)(x-d)\ldots (x-r)=(x-\alpha )\left(x^{m-2}+A''x^{m-3}+B''x^{m-4}+\ldots +T''\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7aae11d8c134a6981a7cf2dd17419b16e5abeea)
Le même raisonnement fera trouver ensuite
![{\displaystyle (x-c)(x-d)(x-e)\ldots (x-r)=(x-\alpha )\left(x^{m-3}+A'''x^{m-4}+B'''x^{m-5}+\ldots +T'''\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/308c0330d24586bc2fb995f51e102b2621529aa2)
et, en poursuivant toujours ainsi, on arrivera enfin à la conclusion
; ce qui est contre l’hypothèse ; cette hypothèse ne peut donc subsister ; et il n’existe conséquemment d’autres diviseurs simples de
que les
diviseurs simples ![{\displaystyle x-a,x-b,x-c,\ldots x-r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1371d2a93fbadb5246f0ca67879c0c6d61da77d5)
II. Il est aisé de voir que ce raisonnement est inutile ou faux.
Il est inutile, si les facteurs
sont considérés comme ils doivent l’être, c’est-à-dire, comme des facteurs premiers.
Il est faux, s’ils ne sont pas considérés comme tels ; car s’ils ne sont pas premiers, on n’est pas en droit de conclure, de ce que
divise le produit
et ne divise pas l’un de ces deux facteurs, savoir
qu’il divise nécessairement l’autre facteur. Le nombre 10, par exemple, qui ne divise ni
ni
divise pourtant le produit
de ces deux nombres. Pareillement la formule
qui ne divise aucun des trinômes
et
divise pourtant leur produit
[1]
- ↑ Le Corollaire du n.o 14 peut être établi directement, d’une manière très-simple, indépendamment du Lemme du n.o 13.