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THÉORIE

$=\operatorname {Cos} .\left(\alpha \operatorname {Cos} .A\right)\operatorname {Cos} .\left({\sqrt {-1}}.\alpha \operatorname {Sin} .A\right)$

$+{\sqrt {-1}}.\operatorname {Sin} .\left(\alpha \operatorname {Cos} .A\right)\operatorname {Cos} .\left({\sqrt {-1}}.\alpha \operatorname {Sin} .A\right)$

$+{\sqrt {-1}}.e^{{\sqrt {-1}}.\alpha \operatorname {Cos} .A}.\operatorname {Sin} .\left({\sqrt {-1}}.\alpha \operatorname {Sin} .A\right)\,;$

expression qui, vu la double transcendance de ses termes, me paraît inadmissible. Sa comparaison avec

$1_{\lambda +\mu {\sqrt {-1}}}=\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Cos} .\left(\lambda {\sqrt {-1}}\right)+{\sqrt {-1}}.\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\left(\mu {\sqrt {-1}}\right)$

$+{\sqrt {-1}}.e^{\lambda {\sqrt {-1}}}.\operatorname {Sin} .\left(\mu {\sqrt {-1}}\right)$

me l’a fait rejeter entièrement ; parce que les angles $\alpha$ et $A$ sont aisés à déterminer en $\lambda$ et $\mu ,$ par la trigonométrie sphérique. On trouve, en effet,

${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Cos} .\left(\mu {\sqrt {-1}}\right)&=\operatorname {Cos} .\alpha ,\\\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\left(\mu {\sqrt {-1}}\right)&=\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\left(A{\sqrt {-1}}\right),\\\operatorname {Sin} .\left(\mu {\sqrt {-1}}\right)&=\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\left(A{\sqrt {-1}}\right)\,;\\\end{aligned}}$

d’où l’on déduit

$\operatorname {Cos} .\mu ={\tfrac {\operatorname {Cos} .\alpha }{\sqrt {1-\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Sin} .^{2}\left(A{\sqrt {-1}}\right)}}},\qquad \operatorname {Sin} .\mu ={\tfrac {\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\left({\sqrt {-1}}\right)}{\sqrt {1-\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Sin} .^{2}\left(A{\sqrt {-1}}\right)}}},$

On a donc

$1_{\alpha _{A}}=\left\{\operatorname {Cos} .\alpha +{\sqrt {-1}}.\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\left(A{\sqrt {-1}}\right)\right\}\left\{1+{\tfrac {\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\left(A{\sqrt {-1}}\right)}{\sqrt {1-\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Sin} .^{2}\left(A{\sqrt {-1}}\right)}}}\right\}.$

il me paraît prouvé, d’après cela, que $\alpha _{A}$ ne doit pas être déter-