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FORME

affectés de $\pm {\sqrt {-1}},$ dont l’ensemble pourra être représenté par $\pm h{\sqrt {-1}}$ ; en sorte que l’équation (1) deviendra simplement

(2)$\qquad (a\pm b{\sqrt {-1}})^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=a^{m\pm n{\sqrt {-1}}}\left(g\pm h{\sqrt {-1}}\right).$

Mais, par la théorie des quantités exponentielles, théorie indépendante de l’exposant de la base, on a, en désignant par $\operatorname {l} a$ le logarithme naturel de $a,$

$a^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=$

(3)$\quad 1+{\tfrac {\left(m\pm n{\sqrt {-1}}\right)}{1}}\operatorname {l} a+{\tfrac {\left(m\pm n{\sqrt {-1}}\right)^{2}}{1.2}}\left(\operatorname {l} a\right)^{2}+{\tfrac {\left(m\pm n{\sqrt {-1}}\right)^{3}}{1.2.3}}\left(\operatorname {l} a\right)^{3}+\ldots$

qui, pour les mêmes raisons que ci-dessus, pourra être réduit à la forme

$a^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=c\pm d{\sqrt {-1}}\,;$

substituant donc cette valeur dans l’équation (2), il viendra, en développant, et posant pour abréger

$cg-dh=p,\qquad ch+dg=q,$

$(a\pm b{\sqrt {-1}})^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=$

$\left(c\pm d{\sqrt {-1}}\right)\left(g\pm h{\sqrt {-1}}\right)=(cg-dh)\pm (ch+dg){\sqrt {-1}}=p\pm q{\sqrt {-1}}\,;$

comme nous l’avions annoncé.

Voici présentement la démonstration géométrique du même théorème, que j’avais annoncée, dans l’ouvrage d’algèbre publié en 1802,

Soit posé

${\frac {a}{b}}=\operatorname {Cot} .\omega ,$

il viendra

$a={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\operatorname {Cos} .\omega ,\qquad b={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\operatorname {Sin} .\omega ,$

donc

$a\pm b{\sqrt {-1}}=\left(\operatorname {Cos} .\omega \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\omega \right){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$

et

$\operatorname {l} \left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right)={\tfrac {1}{2}}\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)+\operatorname {l} \left(\operatorname {Cos} .\omega \pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .\omega \right)$

$={\tfrac {1}{2}}\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)\pm \omega {\sqrt {-1}}.$

Multipliant les deux membres de cette dernière équation par $m\pm n{\sqrt {-1}},$ il viendra