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DES IMAGINAIRES.

$\operatorname {l} .\left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right)^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=\left\{{\tfrac {1}{2}}m\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)-n\omega \right\}\pm \left\{{\tfrac {1}{2}}n\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)+m\omega \right\}{\sqrt {-1}},$

posant alors, pour abréger

${\tfrac {1}{2}}m\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)-n\omega =g\qquad {\tfrac {1}{2}}n\operatorname {l} \left(a^{2}+b^{2}\right)+m\omega =h,$

et repassant des logarithmes aux nombres, il viendra

$\left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right)^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=e^{g}.e^{\pm h{\sqrt {-1}}}=e^{g}\operatorname {Cos} .h\pm {\sqrt {-1}}e^{g}\operatorname {Sin} .h\,;$

posant donc enfin

$e^{g}\operatorname {Cos} .h=p,\qquad e^{g}\operatorname {Sin} .h=q,$

on aura, de nouveau

$\left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right)^{m\pm n{\sqrt {-1}}}=p\pm q{\sqrt {-1}}.$^[1]

Réflexions sur le même sujet ;

Par M. Gergonne.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

La forme

$\left(a\pm b{\sqrt {-1}}\right)^{m\pm n{\sqrt {-1}}},$

est loin, ce me semble, d’être la plus générale que puissent affecter les fonctions d’imaginaires. D’abord un radical imaginaire peut excéder le second degré. À la vérité, dans ce cas, il peut toujours être ramené au second degré, puisque ${\sqrt[{2\alpha }]{-A^{2}}}={\sqrt[{\alpha }]{A{\sqrt {-1}}}}\,;$ mais c’est là une observation qui vaudrait bien la peine d’être faite aux commençans, à qui on ne parle jamais, dans les élémens, que de la racine quarrée de moins un.

1. Dans le vrai, cette dernière démonstration est tout aussi analitique que la première ; puisque les fonctions circulaires ne sont, au fond, que des transcendantes d’une espèce particulière, dont la, théorie peut être présentée d’une manière tout à fait indépendante des considérations géométriques. C’est ainsi, en particulier, qu’elles ont été envisagées par M. Suremain-de-Missery, dans sa Théorie des quantités imaginaires (Paris, F. Didot, 1801, in-8.^o ). On trouve, au surplus, dans cet ouvrage (pag. 72), une démonstration du théorème de d’Alembert qui diffère très-peu de celles de MM. Du Bourguet et Garnier.
   J. D. G.