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GÉOMÉTRIE PRATIQUE.

On voit, en effet, qu’à cause des deux angles droits opposés $\mathrm {DEF,DLF} ,$ le quadrilatère $\mathrm {DEFL}$ est inscrit à un cercle ; que par conséquent $\mathrm {L}$ est un point de la circonférence du cercle circonscrit au triangle $\mathrm {DEF} \,;$ d’où il suit que les pieds $\mathrm {A,B,C}$ des perpendiculaires $\mathrm {LA,LB,LC} ,$ abaissées respectivement du point $\mathrm {L}$ sur les directions $\mathrm {ED,DF,FE}$ des côtés de ce triangle doivent être sur une même ligne droite.

Remarque. l’Équerre d’arpenteur est, en général, un instrument beaucoup moins estimé qu’il ne mérite de l’être. J’ai tâché de le relever de son discrédit, dans mes Solutions peu connues de diffé-

D’après cela on trouvera, pour les équations des extrémités non communes de ces trois cordes,

$\left\{{\begin{aligned}x&={\frac {2r}{1+m^{2}}},\\y&={\frac {2mr}{1+m^{2}}}\,;\\\end{aligned}}\right.\left\{{\begin{aligned}x&={\frac {2r}{1+m'^{2}}},\\y&={\frac {2m'r}{1+m'^{2}}}\,;\\\end{aligned}}\right.\left\{{\begin{aligned}x&={\frac {2r}{1+m''^{2}}},\\y&={\frac {2m''r}{1+m''^{2}}}.\\\end{aligned}}\right.$

D’où on conclura, pour les équations des cercles dont elles sont les diamètres,

${\begin{aligned}\left(1+m^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)&=2r(x+my),\\\left(1+m'^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)&=2r(x+m'y),\\\left(1+m''^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)&=2r(x+m''y).\\\end{aligned}}$

Les intersections de ces cercles, deux à deux, auront pour équations

$\left\{{\begin{aligned}x&={\tfrac {2(1-mm')r}{\left(1+m^{2}\right)\left(1+m'^{2}\right)}},\\y&={\tfrac {2(m+m')r}{\left(1+m^{2}\right)\left(1+m'^{2}\right)}}\,;\\\end{aligned}}\right.\left\{{\begin{aligned}x&={\tfrac {2(1-m'm'')r}{\left(1+m'^{2}\right)\left(1+m''^{2}\right)}},\\y&={\tfrac {2(m'+m'')r}{\left(1+m'^{2}\right)\left(1+m''^{2}\right)}}\,;\\\end{aligned}}\right.\left\{{\begin{aligned}x&={\tfrac {2(1-m''m)r}{\left(1+m''^{2}\right)\left(1+m^{2}\right)}},\\y&={\tfrac {2(m''+m)r}{\left(1+m''^{2}\right)\left(1+m^{2}\right)}}.\\\end{aligned}}\right.$

Si l’on cherche quelle est la droite qui passe par deux quelconques de ces trois points, on trouvera, toutes réductions faites, que l’équation de cette droite est

$(m+m'+m''-mm'm'')y=(mm'+m'm''+m''m-1)x+2r\,;$

et, comme cette équation est symétrique en $m,m',m'',$ on en conclura que la droite qu’elle exprime contient à la fois les trois points.

J. D. G.