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RÉSOLUES.

$x'y'+x''y''=0,\qquad$(4)$\qquad {\text{ou}}\qquad 2x''.2y''=-2x'.2y'\,;$

ce qui fait voir que les deux rectangles dont il s’agit ne diffèrent que par le signe et sont conséquemment équivalens.

M. Bérard a remarqué qu’en transposant, dans les équations (3) et (4), et en les multipliant et les divisant ensuite l’une par l’autre, on en conclut les deux suivantes

$\pm a^{2}y'^{2}=b^{2}x''^{2},\qquad$(5)$\qquad \pm a^{2}y''^{2}=b^{2}x'^{2}\,;\qquad$(6)

équations en vertu desquelles les équations (1) et (2) deviennent

$x'^{2}+x''^{2}=a^{2},\qquad$(7)$\qquad y'^{2}+y''^{2}=\pm b^{2}.\qquad$(8)

Or, en ajoutant ensemble les équations (7) et (8), il vient

$\left(x'^{2}+y'^{2}\right)+\left(x''^{2}+y''^{2}\right)=a^{2}\pm b^{2}\,;$

équation qui exprime la relation connue entre les longueurs des axes d’une ellipse ou d’une hyperbole et celles de deux diamètres conjugués.

Si, ensuite, du produit des deux mêmes équations (7) et (8), on retranche le quarré de l’équation (4) on aura

$(xy'-x'y)^{2}=\pm a^{2}b^{2}\,;$

autre équation qui exprime la propriété connue des parallélogrammes construits sur les diamètres conjugués.^[1]

Remarquant aussi que les équations (1), (2), (3), desquelles résulte l’équation (4), ont lieu également lorsque $2a$ et $2b,$ au lieu d’être les deux axes de la courbe, sont deux diamètres conjugués auxquels on la rapporte ; M. Bérard en conclut cet autre théorème, plus général que le premier :

THÉORÈME. Les parallélogrammes qui ont respectivement pour diagonales deux diamètres conjugués d’une ellipse ou d’une hy-

1. C’est là, bien certainement, le moyen le plus simple d’arriver à ces deux relations auxquelles la plupart des auteurs d’élémens ne parviennent qu’à travers des calculs assez compliqués.
   J. D. G.