ce qui fait voir que les deux rectangles dont il s’agit ne diffèrent que par le signe et sont conséquemment équivalens.
M. Bérard a remarqué qu’en transposant, dans les équations (3) et (4), et en les multipliant et les divisant ensuite l’une par l’autre, on en conclut les deux suivantes
équations en vertu desquelles les équations (1) et (2) deviennent
Or, en ajoutant ensemble les équations (7) et (8), il vient
équation qui exprime la relation connue entre les longueurs des axes d’une ellipse ou d’une hyperbole et celles de deux diamètres conjugués.
Si, ensuite, du produit des deux mêmes équations (7) et (8), on retranche le quarré de l’équation (4) on aura
autre équation qui exprime la propriété connue des parallélogrammes construits sur les diamètres conjugués.[1]
Remarquant aussi que les équations (1), (2), (3), desquelles résulte l’équation (4), ont lieu également lorsque et au lieu d’être les deux axes de la courbe, sont deux diamètres conjugués auxquels on la rapporte ; M. Bérard en conclut cet autre théorème, plus général que le premier :
THÉORÈME. Les parallélogrammes qui ont respectivement pour diagonales deux diamètres conjugués d’une ellipse ou d’une hy-
- ↑ C’est là, bien certainement, le moyen le plus simple d’arriver à ces deux
relations auxquelles la plupart des auteurs d’élémens ne parviennent qu’à travers
des calculs assez compliqués.
J. D. G.