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RÉSOLUES.

quotient ${\frac {\mathrm {BQ} }{\mathrm {AP} }}={\frac {\mathrm {CR} }{\mathrm {BQ} }}=\ldots ={\frac {\mathrm {EU} }{\mathrm {DT} }},\ \alpha$ l’angle $\mathrm {PAQ=QBR} =\ldots$ $=\mathrm {TEU} ={\frac {\varpi }{2n}}.$ On aura d’abord les équations

${\begin{array}{rrr}\mathrm {AP=AQ} =x,&\qquad \mathrm {AB} =x(z-1),&\qquad b\mathrm {C} =b\mathrm {B+BC} ,\\\mathrm {BQ=BR} =xz,&\qquad \mathrm {BC} =xz(z-1),&\qquad c\mathrm {D} =c\mathrm {C+CD} ,\\\ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \\\mathrm {ET=EU} =xz^{n-1};&\qquad \mathrm {DE} =xz^{n-1}(z-1);&\qquad d\mathrm {E} =d\mathrm {D+DE} .\\\end{array}}$

Tous les angles des triangles $\mathrm {AB} b,b\mathrm {C} c,\ldots d\mathrm {E} e$ sont connus ; ainsi, en partant du côté $\mathrm {AB} ,$ on déterminera successivement les côtés $\mathrm {A} b,bc,\ldots de,$ et $e\mathrm {E} ,$ au moyen des équations précédentes et de la proportionnalité entre les sinus et les côtés.

On aura ensuite

$\mathrm {M} =xz^{n-1}-e\mathrm {E} ,\qquad \mathrm {B} =x+\mathrm {A} b+bc+\ldots +de.$

En faisant, pour abréger,

$\operatorname {Sin} .n\alpha -\operatorname {Sin} .(n-1)\alpha =P_{n},$

$\operatorname {Sin} .(n-1)\alpha -\operatorname {Sin} .(n-2)\alpha =P_{n-1},$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

$\operatorname {Sin} .\alpha -\operatorname {Sin} .0=P_{1},$

on trouvera, réductions faites,

$\left.{\begin{aligned}M&=x\left(P_{n}z^{n-1}+P_{n-1}z^{n-2}+\ldots +P_{2}z+P_{1}\right),\\B&=x\left(P_{1}z^{n-1}+P_{2}z^{n-2}+\ldots +P_{n-1}z+P_{n}\right).\\\end{aligned}}\right.\qquad (1)$

En éliminant $x$, entre ces deux équations, on a, pour la détermination de $z,$ l’équation du $(n-1)^{me}$ degré

$\left(BP_{n}-MP_{1}\right)z^{n-1}+\left(BP_{n-1}-MP_{2}\right)z^{n-2}+\ldots$

$+\left(BP_{2}-MP_{n-1}\right)z+\left(BP_{1}-MP_{n}\right)=0.$

Les équations (1) peuvent se mettre sous la forme définie