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TRANSFORMATION

3^o. enfin de déterminer généralement tant le nombre des termes des périodes que celui des termes de la partie non périodique dont elles se trouvent précédées.

4. Pour y parvenir, soient désignés généralement par $m$ le nombre des termes qui précèdent la première période, et par $n$ le nombre des tenues dont chaque période est composée ; auquel cas on devra avoir $m-n<B$ ; il est ciair qu’alors on pourra écrire

$\left.{\begin{array}{rl}{\frac {A}{B}}=&{\frac {q_{1}}{b}}+{\frac {q_{2}}{b^{2}}}+{\frac {q_{3}}{b^{3}}}+\ldots +{\frac {q_{m}}{b^{m}}}\\+&{\frac {q_{m+1}}{b^{m+1}}}+{\frac {q_{m+2}}{b^{m+2}}}+{\frac {q_{m+3}}{b^{m+3}}}+\ldots +{\frac {q_{m+n}}{b^{m+n}}}\\+&{\frac {q_{m+1}}{b^{m+n+1}}}+{\frac {q_{m+2}}{b^{m+n+2}}}+{\frac {q_{m+3}}{b^{m+n+3}}}+\ldots +{\frac {q_{m+n}}{b^{m+2n}}}\\+&{\frac {q_{m+1}}{b^{m+2n+1}}}+{\frac {q_{m+2}}{b^{m+2n+2}}}+{\frac {q_{m+3}}{b^{m+2n+3}}}+\ldots +{\frac {q_{m+n}}{b^{m+3n}}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{array}}\right\}\quad (\epsilon )$

ou encore

$\left.{\begin{array}{rl}{\frac {A}{B}}=&{\frac {q_{1}b^{m-1}+q_{2}b^{m-2}+q_{3}b^{m-3}+\ldots +q_{m}}{b^{m}}}\\+&{\frac {q_{m+1}b^{n-1}+q_{m+2}b^{n-2}+q_{m+3}b^{n-3}+\ldots +q_{m+n}}{b^{m+n}}}\\+&{\frac {q_{m+1}b^{n-1}+q_{m+2}b^{n-2}+q_{m+3}b^{n-3}+\ldots +q_{m+n}}{b^{m+2n}}}\\+&{\frac {q_{m+1}b^{n-1}+q_{m+2}b^{n-2}+q_{m+3}b^{n-3}+\ldots +q_{m+n}}{b^{m+3n}}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{array}}\right\}\quad (\xi )$

posant donc, pour abréger

$q_{1}b^{m-1}+q_{2}b^{m-2}+q_{3}b^{m-3}+\ldots +q_{m}=M,\qquad (\eta )$

$q_{m+1}b^{n-1}+q_{m+2}b^{n-2}+q_{m+3}b^{n-3}+\ldots +q_{m+n}=N\,;\qquad (\theta )$

il viendra enfin