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DES FRACTIONS.

${\frac {A}{B}}={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m+n}}}+{\frac {N}{b^{m+2n}}}+{\frac {N}{b^{m+3n}}}+\ldots$

$={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m+n}}}\left\{1+\left({\frac {1}{b^{n}}}\right)+\left({\frac {1}{b^{n}}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{b^{n}}}\right)^{3}+\ldots \right\}$

$={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m+n}}}.{\frac {1}{1-{\frac {1}{b^{n}}}}}={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m+n}}}.{\frac {b^{n}}{b^{n}-1}}\,;$

c’est-à-dire,

${\frac {A}{B}}={\frac {M}{b^{m}}}+{\frac {N}{b^{m}\left(b^{n}-1\right)}}={\frac {M\left(b^{n}-1\right)+N}{b^{m}\left(b^{n}-1\right)}}.\qquad (\varkappa )$

5. Cela posé, soit mise l’équation $(\varkappa )$ sous cette forme

${\frac {Ab^{m}\left(b^{n}-1\right)}{B}}=M\left(b^{n}-1\right)+N.\qquad (\lambda )$

Il faut que le premier membre de cette équation soit un nombre entier ; et, comme $B$ et $A$ sont supposés premiers entre eux, il s’ensuit que $b^{m}\left(b^{n}-1\right)$ doit être divisible par $B.$ Soit donc fait $B=CD\ :\ C$ étant le produit des facteurs premiers de $B$ qui se trouvent dans $b,$ et $D$ le produit de ceux qui ne s’y trouvent pas. Attendu que $b^{m}$ et $b^{n}-1$ sont nécessairement premiers entre eux, il faudra que

${\frac {b^{m}}{C}}\qquad$et$\qquad {\frac {b^{n}-1}{D}},$

soient séparément des nombres entiers. Ainsi, 1^o. le dénominateur de la fraction génératrice ne saurait renfermer aucun des facteurs premiers de la base de son développement à une puissance supérieure à celle dont l’exposant est le nombre de fois que ce facteur premier se trouve dans la base, multiplié par le nombre des termes qui précèdent la première période ; 2^o. le produit des facteurs premiers du dénominateur de la fraction génératrice qui sont étrangers à la base de son développement, est toujours diviseur d’un nombre moindre d’une unité que la puissance de cette base dont le degré est marqué par le nombre des termes des périodes.