Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1813-1814, Tome 4.djvu/294

280

TOUR

ne veut point se contenter de l’induction, un tout de démonstration très-familier aux analistes, on trouvera qu’en général après un nombre d’opérations désigné par $2k,$ le rang de la carte pensée dans le jeu sera au moins

$n_{2k}m^{m-1}-n_{2k-1}m^{m-2}+n_{2k-2}m^{m-3}-\ldots +n_{2}m^{m-2k+1}-n_{1}m^{m-2k}+1,$

et au plus

$n_{2k}m^{m-1}-n_{2k-1}m^{m-2}+n_{2k-2}m^{m-3}-\ldots$

$+n_{2}m^{m-2k+1}-n_{1}m^{m-2k}+m^{m-2k}\,;$

et qu’après un nombre d’opérations désigné par $2k+1$, le rang de la carte pensée, dans le jeu, sera au moins,

$n_{2k+1}m^{m-1}-n_{2k}m^{m-2}+n_{2k-1}m^{m-3}-\ldots$

$-n_{2}m^{m-2k}+n_{1}m^{m-2k-1}-\left(m^{m-2k-1}-1\right),$

et au plus

$n_{2k+1}m^{m-1}-n_{2k}m^{m-2}+n_{2k-1}m^{m-3}-\ldots -n_{2}m^{m-2k}+n_{1}m^{m-2k-1}.$

Or, 1.^o si $m$ est pair et $=2k,$ les deux premières limites se confondront en un seul nombre, et l’on aura

$x=n_{m}m^{m-1}-n_{m-1}m^{m-2}+n_{m-2}m^{m-3}-\ldots -n_{3}m^{2}+n_{2}m-n_{1}+1\,;$

et 2.^o si $m$ est impair et $=2k+1,$ les deux dernières limites se confondront aussi en un seul nombre, et l’on aura

$x=n_{m}m^{m-1}-n_{m-1}m^{m-2}+n_{m-2}m^{m-3}-\ldots +n_{3}m^{2}-n_{2}m+n_{1}\,;$

ainsi, dans l’un et dans l’autre cas, les nombres $n_{1},n_{2},n_{3},\ldots ,n_{m}$ étant donnés, on pourra en conclure $x.$

Ainsi, par exemple, si $m=4,$ c’est-à-dire, si le nombre total des cartes est 256, et qu’on ait successivement assigné au paquet qui contient la carte pensée, les rangs 3, 4, 1, 2, on aura

$x=2.64-1.16+4.4-3+1=126.$

Si au contraire $m=3,$ c’est-à-dire, si le nombre total des cartes est 27, et si, en outre, les rang assignés au paquet contenant la carte pensée ; sont 1, 3, 2, on aura

$x=2.9-3.3+1=10.$