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ET BINÔME DE NEWTON.
II. L’équation
devient, en supposant
Changeant en on aura
Multipliant cette dernière équation par et, et l’ajoutant à la précédente ; il viendra
ce qui établit une relation entre deux coefficiens consécutifs du polynôme
d’où l’on déduit la formule du binôme.
On peut encore démontrer cette formule d’une manière plus directe ;
il suffit pour cela d’observer que, dans l’équation
le nombre des produits de lettres du premier membre est égal
au nombre des produits de lettres du second membre ; désignant
donc par le nombre des produits différens de lettre qui sont
comptés dans lettres, nous aurons , et par conséquent
la suite d’équations
Effectuant le produit de ces équations, et omettant les facteurs
communs, nous obtiendrons