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ET BINÔME DE NEWTON.

II. L’équation

$nA_{n}-A_{n-1}\mathrm {S} \alpha +A_{n-2}\mathrm {S} \alpha ^{2}-\ldots =0,$

devient, en supposant $\alpha =\beta =\gamma =\delta =\ldots$

$nA_{n}-mA_{n-1}\alpha +mA_{n-2}\alpha ^{2}-mA_{n-3}\alpha ^{3}+\ldots =0.$

Changeant $n,$ en $n-1,$ on aura

$(n-1)A_{n-1}-mA_{n-2}\alpha +mA_{n-3}\alpha ^{2}-\ldots =0.$

Multipliant cette dernière équation par $\alpha$ et, et l’ajoutant à la précédente ; il viendra

$nA_{n}-(m-n+1)A_{n-1}\alpha =0\,;$

ce qui établit une relation entre deux coefficiens consécutifs du polynôme

$x^{m}+A_{1}x^{m-1}+A_{2}x^{m-2}+\ldots A_{m}=(x+\alpha )^{m}\,;$

d’où l’on déduit la formule du binôme.

On peut encore démontrer cette formule d’une manière plus directe ; il suffit pour cela d’observer que, dans l’équation

$nA_{n}=\mathrm {S} \left(\alpha B_{n-1}\right),$

le nombre des produits de $n$ lettres du premier membre est égal au nombre des produits de $n$ lettres du second membre ; désignant donc par $N_{n}^{m}$ le nombre des produits différens de $n$ lettre qui sont comptés dans $m$ lettres, nous aurons $nN_{n}^{m}=mN_{n-1}^{m-1}$, et par conséquent la suite d’équations

${\begin{aligned}nN_{n}^{m}&=mN_{n-1}^{m-1}\\(n-1)N_{n-1}^{m-1}&=(m-1)N_{n-2}^{m-2},\\(n-2)N_{n-2}^{m-2}&=(m-2)N_{n-3}^{m-3},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\1.N_{1}^{m-n+1}&=(m-n+1).\\\end{aligned}}$

Effectuant le produit de ces équations, et omettant les facteurs communs, nous obtiendrons