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DE LA TRACTOIRE.

$\operatorname {d} ^{2}x=-{\frac {y\operatorname {d} ^{2}y}{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}-{\frac {a^{2}\operatorname {d} y^{2}}{(a^{2}-y^{2})^{\frac {3}{2}}}}\,;$

or, l’équation (6) donne

$\operatorname {d} ^{2}x={\frac {\operatorname {d} ^{2}y{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{y}}\,;$

égalant donc ces deux valeurs, il viendra, toutes réductions faites,

${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}+{\frac {y\operatorname {d} y^{2}}{(a^{2}-y^{2})^{\frac {3}{2}}}}=0,\qquad$(7)

équation qui a pour intégrale

${\frac {\operatorname {d} y}{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}+C\operatorname {d} x'=0.\qquad$(8)

Cette dernière équation, intégrée de nouveau, donne

$\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {y}{a}}\right)=Cx'+C'\,;$

ou bien, en remettant pour $x'$ sa valeur donnée par l’équation (2)

$\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {y}{a}}\right)=C\left(x-{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}\right)-C'.\qquad$(9)

Pour déterminer les constantes $C$ et $C',$ supposons d’abord que la vitesse constante de $P$ soit $b$ ; de manière qu’on ait ${\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} t}}=b$ En mettant cette valeur dans l’équation (8), elle deviendra

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}+bC{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}=0.\qquad$(10)

Supposons ensuite qu’à l’origine des temps le point, soit à l’origine des coordonnées, et que la verge $a$ forme alors un angle $\alpha$ avec l’axe des $x.$ Supposons de plus que la vitesse initiale de $M$ parallèlement à l’axe des $y$ soit $c,$ en sorte que pour $t=0$ et $y=a\operatorname {Sin} .\alpha$ on ait ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}=c$ ; l’équation (10) deviendra ainsi