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PROBLÈME

$c+abC\operatorname {Cos} .\alpha =0,\qquad$d’où$\qquad C=-{\frac {c}{ab\operatorname {Cos} .\alpha }}.$

L’intégrale seconde (9), rapportée au même état initial, devient

$\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=\operatorname {Sin} .\alpha )=C',\qquad$d’où$\qquad C'={\tfrac {1}{2}}\varpi -\alpha .$

On a ainsi

$x={\sqrt {a^{2}-y^{2}}}+{\frac {ab\operatorname {Cos} .\alpha }{c}}\left\{\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{a}}\right)-\alpha \right\}.\qquad$(11)

C’est l’équation demandée de la courbe décrite par les corps $M.$ On voit que cette courbe est une cycloïde générale, rapportée à la droite parcourue par le centre du cercle générateur ; ce cercle a pour rayon la longueur $a$ de la verge ; son centre est l’extrémité $P$ de cette verge, et le rapport des vitesses de translation du centre et de rotation des points de la circonférence autour de ce centre est celui de $b\operatorname {Cos} .\alpha$ à $c$ ; de manière que la cycloïde sera allongée ordinaire ou raccourcie, suivant qu’on aura $b\operatorname {Cos} .\alpha >c,\ b\operatorname {Cos} .\alpha =c$ ou $b\operatorname {Cos} .\alpha <c.$

L’équation (11) contient, comme une des données, la vitesse initiale de $M$ dans le sens des $y$ ; on aurait pu y introduire sa vitesse dans le sens des$x$. Si, en effet, l’on met dans l’intégrale première (8) pour ${\frac {\operatorname {d} y}{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}},$ sa valeur, ${\frac {\operatorname {d} x'-\operatorname {d} x}{y}}$, on aura

${\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} t}}+Cy{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}=0.$

Soit ensuite $c'$ la vitesse initiale de $M$ dans le sens de $x,$ en sorte qu’on ait ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}=c',$ cette équation deviendra $b+abC\operatorname {Sin} .\alpha -c'=0,$ d’où

$C={\frac {c'-b}{ab\operatorname {Sin} .\alpha }}\,;$