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DE LA TRACTOIRE.
introduisant donc cette valeur dans l’équation de la courbe, elle deviendra
![{\displaystyle x={\sqrt {a^{2}-y^{2}}}+{\frac {ab\operatorname {Sin} .\alpha }{c'-b}}\left\{\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{a}}\right)-\alpha \right\}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd5b1fbb97e42034cf5d19263de8f738e36129d)
(12)
de sorte qu’il y a entre les vitesses initiales
et
la relation
![{\displaystyle c'\operatorname {Cos} .\alpha +c\operatorname {Sin} .\alpha =b\operatorname {Cos} .\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9940dd065b7646ac4799477e29b2110f862ec81)
L’équation (11) est en défaut, lorsqu’on a
; mais alors on emploie l’équation (12) qui devient
![{\displaystyle x={\sqrt {a^{2}-y^{2}}}-{\frac {ab}{c'-b}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {y}{a}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0865f140ca9ede94e2fa296dcde52451ed4626f2)
De même, si
l’équation (12) est en défaut ; mais alors l’équation (11) devient
![{\displaystyle x={\sqrt {a^{2}-y^{2}}}+{\frac {ab}{c}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{a}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1903f2c90261b0555f5070fd9558d734071eabbb)
Pour déterminer la vitesse de
en un point quelconque de la courbe, nous avons les équations
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}={\frac {ab\operatorname {Cos} .\alpha -cy}{a\operatorname {Cos} .\alpha }},\qquad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}={\frac {c{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{a\operatorname {Cos} .\alpha }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303f07b8ff82dcef48c0cc5bf5a1545364b7e3ee)
donc
![{\displaystyle \nu ^{2}={\frac {ac^{2}-2bcy\operatorname {Cos} .\alpha +ab^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha }{a\operatorname {Cos} .^{2}\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96fd1148626549d16d9dd7c039b02ef71435678a)
Ainsi, suivant qu’on aura
ou
on aura aussi
![{\displaystyle \nu =b-{\frac {c}{\operatorname {Cos} .\alpha }},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f53dcc0f57e42738a2ac8ee0bd5948344deefb)
ou
![{\displaystyle \qquad \nu =b+{\frac {c}{\operatorname {Cos} .\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4200cf390b46b2c612cfa56df13c4d2e41b884fc)
Il est aisé de voir que ce sont là la plus petite et la plus grande vitesses du point
; la première a lieu au point le plus haut et la seconde au point le plus bas de chaque cycloïde donc, dans la cycloïde ordinaire, pour laquelle on a
la vitesse du point
est nulle, chaque fois qu’il parvient à son maximum d’élé-