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DE LA TRACTOIRE.

suit que ses composantes parallèles aux axes des $x$ et des $y$ sont respectivement ${\frac {x-x'}{a}}p,\ {\frac {y}{a}}p,$ d’où il résulte que les équations du mouvement du point $M$ doivent être, $t$ étant la variable indépendante,

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {x-x'}{a}}p,\qquad$(1)$\qquad {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {y}{a}}p\,;\qquad$(2)

à quoi il faut joindre

$(x-x')^{2}+y^{2}=a,\qquad$(3)$\qquad {\frac {\mathrm {d} x'}{\mathrm {d} t}}=b.\qquad$(4)

Cela posé, si l’on différencie deux fois l’équation (3), en ayant égard à l’équation (4), il viendra

$(x-x')\left\{{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}-b\right\}+y{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=0,\qquad$(5)

$(x-x'){\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+y{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}+\left\{{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}-b\right\}^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=0.\qquad$(6)

Mais, d’un autre côté, en éliminant $p$ entre les équations (1) et (2), on obtient

$(x-x'){\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}-y{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=0.\qquad$(7)

En éliminant $x,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}},{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}$ entre les équations (3), (5), (6), (7) on aura

$(a^{2}-y^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}+y\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=0\,;\qquad$(8)

équation dont l’intégrale première est

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=C{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}=C(x-x')\,;\qquad$(9)

valeur qui, substituée dans l’équation (5), donne

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=b-Cy=-C{\sqrt {a^{2}-(x-x')^{2}}}.\qquad$(10)