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DE LA TRACTOIRE.

rection formant un angle $\beta$ avec l’axe des $x,$ et dont les composantes, respectivement parallèles aux axes des $x$ et des $y,$ seront conséquemment $c\operatorname {Cos} .\beta$ et $c\operatorname {Sin} .\beta \,;$ je supposerai d’ailleurs, avec M. Français, qu’à la même époque le point $P$ est à l’origine et que la verge $a$ fait un angle $\alpha$ avec l’axe des $x\,;$ c’est-à-dire, que je supposerai qu’on a en même temps

t=0,\ {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}=c\operatorname {Cos} .\beta ,\ {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}=c\operatorname {Sin} .\beta ,\ x=a\operatorname {Cos} .\alpha ,\ y=a\operatorname {Sin} .\alpha .

À l’aide de ces diverses suppositions, les équations (9) et (10) deviendront

c\operatorname {Sin} .\beta =Ca\operatorname {Cos} .\alpha ,

c\operatorname {Cos} .\beta =b-Ca\operatorname {Sin} .\alpha \,;

d’où

C={\frac {c\operatorname {Sin} .\beta }{a\operatorname {Cos} .\alpha }}={\frac {b-c\operatorname {Cos} .\beta }{a\operatorname {Sin} .\alpha }},\qquad

(12)

ce qui donne l’équation de relation

c\operatorname {Cos} .(\beta -\alpha )=b\operatorname {Cos} .\alpha .\qquad

(13)

Si présentement on intègre l’équation (11) on trouvera

x={\sqrt {a^{2}-y^{2}}}+{\frac {ab}{C}}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{a}}\right)+C'\,;

les circonstances initiales du mouvement donnent, en réduisant

0={\frac {ab}{C}}\alpha +C',

en sorte qu’on a définitivement

x={\sqrt {a^{2}-y^{2}}}+{\frac {ab}{C}}\left\{\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Sin} .={\frac {y}{a}}\right)-\alpha \right\}.\qquad

(14)

équation dans laquelle, en vertu de la relation (13), on pourra substituer pour $C$ l’une quelconque des deux valeurs données par les équations (12). On aura ensuite

\nu ^{2}=\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=C^{2}a^{2}+2Cby-b^{2}.