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DE LA TRACTOIRE.

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}=+{\frac {b^{2}y\left(a^{2}-2y^{2}\right)}{a^{4}}}.\qquad$(9)

En désignant donc par $X,Y,$ respectivement, les composantes de la force accélératrice, parallèlement aux axes, on aura

$X=-{\frac {2b^{2}y^{2}{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{a^{4}}},\qquad Y=+{\frac {b^{2}y\left(a^{2}-2y^{2}\right)}{a^{4}}}\,;$

et, conséquemment ; si l’on désigne cette force par $\phi ,$ on aura

$\phi ={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}={\frac {b^{2}y}{a^{2}}},$

et elle fera, avec l’axe des $x$, un angle dont la tangente tabulaire sera

${\frac {Y}{X}}=-{\frac {a^{2}-2y^{2}}{2y{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}}\,;$

d’où il est facile de conclure que ses composantes, suivant la tangente et suivant la normale, seront respectivement

${\frac {b^{2}y^{2}}{a^{3}}},\qquad {\frac {b^{2}y{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{a^{3}}}.$

On voit donc que la puissance $\phi$ n’est point dirigée suivant $MP.$

Rien ne serait plus facile maintenant que d’obtenir $x,y$, ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}},\ {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}},\ \nu ,{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}},\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}},$ et $\phi$ en fonction de $t$ ; mais nous croyons superflu de nous arrêter à la recherche de ces diverses expressions.