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PROBLÈME

$x=a\operatorname {Cos} .\alpha ,\qquad y=a\operatorname {Sin} .\alpha$

il viendra

$C=a\operatorname {Log} .{\frac {1+\operatorname {Cos} .\alpha }{\operatorname {Sin} .\alpha }}=a\operatorname {Log} .\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\alpha =-a\operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\alpha \,;$

ce qui donne, enfin, pour l’équation de la courbe aux tangentes égales,

$x={\sqrt {a^{2}-y^{2}}}-a\operatorname {Log} .{\frac {a+{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{y\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\alpha }}.\qquad$(3)

Présentement, en considérant $t$ comme la variable indépendante, nous pouvons mettre l’équation (2) sous la forme

$y{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}-{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}.{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}=0.\qquad$(4)

d’un autre côté, en différenciant l’équation (1), il vient, à cause de ${\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} t}}=b,$

${\sqrt {a^{2}-y^{2}}}.{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}+y{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}=b{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}.\qquad$(5)

De ces deux équations on tire

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}={\frac {b\left(a^{2}-y^{2}\right)}{a^{2}}},\qquad (6)\\&{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}={\frac {by\left(a^{2}-y^{2}\right)}{a^{2}}}.\qquad (7)\\\end{aligned}}$

On trouve ensuite, par une nouvelle différentiation

${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}=-{\frac {2b^{2}y^{2}{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{a^{4}}},\qquad$(8)