nimum, est le trapèze dans lequel la droite qui joint les milieux des côtés parallèles est perpendiculaire à la direction commune de ces côtés.
LEMME II. Entre tous les troncs de parallélipipèdes qui ont les quatre mêmes arêtes latérales et la même section perpendiculaire à ces arêtes, celui dans lequel la somme des aires des faces non parallèles est un minimum, est le tronc de parallélipipède dans lequel les milieux des arêtes latérales se trouvent situés dans un même plan perpendiculaire à la direction commune de ces arêtes.[1]
PROBLÈME I. Entre toutes les surfaces planes d’une même étendue donnée, quelle est celle qui a le moindre périmètre ?
Solution. Le caractère de la surface cherchée est qu’en conservant la même étendue, elle ne puisse changer de figure ; sans augmenter de contour.
Concevons qu’on nous donne une surface plane comme étant celle de moindre contour, parmi toutes celles d’une étendue égale à la sienne.
Menons, dans cette surface, une corde quelconque et une perpendiculaire sur le milieu de cette corde. Concevons ensuite une infinité d’autres cordes infiniment voisines les unes des autres, et toutes parallèles à elles diviseront la surface donnée en élémens que l’on pourra considérer comme des trapèzes, dont les côtés non parallèles formeront, par leur réunion ; le périmètre de la surface dont il s’agit.
Supposons que quelques-uns de ces trapèzes n’aient pas les milieux de leurs côtés parallèles sur la droite nous pourrons, dans l’un quelconque de ceux-ci, faire glisser les côtés parallèles perpendiculairement à jusqu’à ce qu’ils soient parvenus à cette situation ; nous pourrons en faire ensuite de même pour les deux trapèzes élémentaires entre lesquels celui-là se trouve situé, et continuer ainsi, de proche en proche, jusqu’à ce que nous ayons amené toutes les cordes parallèles à à avoir leur milieu sur
- ↑ Voyez, pour la démonstration de ces propositions, l’article des Questions résolues, qui suit immédiatement celui-ci.
J. D. G.
