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$\mathrm {QE} ,$ et soient menées $\mathrm {MD,NE,}$ lesquelles seront aussi respectivement perpendiculaires sur $\mathrm {GA,HB.}$

Faisons

${\begin{aligned}\mathrm {AG} =a,\ Ang.\mathrm {GAC} =\alpha ,\ \mathrm {PS} =x,&\\&\mathrm {KL=MP=NQ} =k.\\\mathrm {BH} =b,\ Ang.\mathrm {HBC} =\beta ,\ \mathrm {QT} =y,&\\\end{aligned}}$

Nous aurons.

$Aire\mathrm {AMG} ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {AG.MD} ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {AG} {\sqrt {{\overline {\mathrm {MP} }}^{2}+{\overline {\mathrm {PD} }}^{2}}}={\tfrac {1}{2}}a{\sqrt {k^{2}+x^{2}Sin.^{2}\alpha }},$

$Aire\mathrm {BNH} ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {BH.NE} ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {BH} {\sqrt {{\overline {\mathrm {NQ} }}^{2}+{\overline {\mathrm {QE} }}^{2}}}={\tfrac {1}{2}}b{\sqrt {k^{2}+y^{2}Sin.^{2}\beta }}\,;$

si donc on a

$Aire\mathrm {AMG} +Aire\mathrm {BNH} =minimum,$

on devra avoir

$a{\sqrt {k^{2}+x^{2}Sin.^{2}\alpha }}+b{\sqrt {k^{2}+y^{2}Sin.^{2}\beta }}=minimum,$

et par conséquent

${\frac {ax\delta xSin.^{2}\alpha }{\sqrt {k^{2}+x^{2}Sin.^{2}\alpha }}}+{\frac {by\delta ySin.^{2}\beta }{\sqrt {k^{2}+y^{2}Sin.^{2}\beta }}}=0\,;$

mais, d’un autre côté, on a

$x+y=\mathrm {SP+QT=ST-PQ=ST-MN} =Constante\,;$

d’où

$\delta x+\delta y=0.\qquad$(2)

Par la combinaison de ces deux équations, on aura

${\frac {axSin.^{2}\alpha }{\sqrt {k^{2}+x^{2}Sin.^{2}\alpha }}}={\frac {bySin.^{2}\beta }{\sqrt {k^{2}+y^{2}Sin.^{2}\beta }}}\,;\qquad$(3)

mais, $\mathrm {CF}$ pouvant être également exprimé par $aSin.\alpha$ et par $bSin.\beta$, on doit avoir

$bSin.\beta =aSin.\alpha \,;\qquad$(4)

équation qui, multipliant là précédente, donne

${\frac {xSin.\alpha }{\sqrt {k^{2}+x^{2}Sin.^{2}\alpha }}}={\frac {ySin.\beta }{\sqrt {k^{2}+y^{2}Sin.^{2}\beta }}},\qquad$(5)